高三数学 第53练 垂直的判定与性质练习-人教版高三全册数学试题VIP免费

第53练垂直的判定与性质训练目标会应用线、面垂直的定理及性质证明直线与平面垂直、平面与平面垂直的位置关系．训练题型(1)证明直线与平面垂直；(2)证明平面与平面垂直；(3)利用线、面垂直的性质证明线线垂直．解题策略证明线面垂直、面面垂直都必须通过证明线线垂直来完成，特殊图形中的垂直关系(如等腰三角形中线、直角三角形、矩形等)往往是解题突破点，也可利用线面垂直的性质证明线线垂直.1.如图所示，已知PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，点C是圆O上任意一点，过A作AE⊥PC于E，AF⊥PB于F，求证：(1)AE⊥平面PBC；(2)平面PAC⊥平面PBC；(3)PB⊥EF.2．(2016·福州质检)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AA1的中点，O为底面正方形对角线B1D1与A1C1的交点．(1)求证：AC1⊥平面B1D1C；(2)过E构造一条线段与平面B1D1C垂直，并证明你的结论．3.(2016·张掖第二次诊断)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1＝AB＝6，D为AC的中点．(1)求证：直线AB1∥平面BC1D；(2)求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；(3)求三棱锥C－BC1D的体积．4．(2016·山东省实验中学质检)如图所示，ABC－A1B1C1是底面边长为2，高为的正三棱柱，经过AB的截面与上底面相交于PQ，设C1P＝λC1A1(0<λ<1)．(1)证明：PQ∥A1B1；(2)是否存在λ，使得平面CPQ⊥截面APQB？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由．答案精析1．证明(1)因为AB是圆O的直径，所以∠ACB＝90°，即AC⊥BC.因为PA垂直于圆O所在平面，即PA⊥平面ABC，而BC⊂平面ABC，所以BC⊥PA.又因为AC∩PA＝A，AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.因为AE⊂平面PAC，所以BC⊥AE.又已知AE⊥PC，PC∩BC＝C，PC⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AE⊥平面PBC.(2)由(1)知AE⊥平面PBC，且AE⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBC.(3)因为AE⊥平面PBC，且PB⊂平面PBC，所以AE⊥PB.又AF⊥PB于F，且AF∩AE＝A，AF⊂平面AEF，AE⊂平面AEF，所以PB⊥平面AEF.又因为EF⊂平面AEF，所以PB⊥EF.2．(1)证明∵AA1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1，∵A1C1⊥B1D1，且AA1∩A1C1＝A1，AA1⊂平面AA1C1，A1C1⊂平面AA1C1，∴B1D1⊥平面AA1C1，∵AC1⊂平面AA1C1，∴B1D1⊥AC1.同理AC1⊥B1C，∵B1D1∩B1C＝B1，B1D1⊂平面B1D1C，B1C⊂平面B1D1C，∴AC1⊥平面B1D1C.(2)解连接EO，则线段EO与平面B1D1C垂直．证明如下：∵E是AA1的中点，O是A1C1的中点，∴EO∥AC1.∵AC1⊥平面B1D1C，∴EO⊥平面B1D1C.3.(1)证明连接B1C交BC1于点O，连接OD，如图，则点O为B1C的中点．∵D为AC的中点，∴AB1∥OD.∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴直线AB1∥平面BC1D.(2)证明∵AA1⊥底面ABC，BD⊂底面ABC，∴AA1⊥BD.∵△ABC是正三角形，D是AC的中点，∴BD⊥AC.∵AA1∩AC＝A，AA1⊂平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1.∵BD⊂平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A1.(3)解由(2)知，在△ABC中，BD⊥AC，BD＝BCsin60°＝3，∴S△BCD＝×3×3＝，∴＝××6＝9.4．(1)证明由正三棱柱的性质可知，平面A1B1C1∥平面ABC，又因为平面APQB∩平面A1B1C1＝PQ，平面APQB∩平面ABC＝AB，所以PQ∥AB.又因为AB∥A1B1，所以PQ∥A1B1.(2)解假设存在这样的λ满足题意，分别取AB的中点D，PQ的中点E，连接CE，DE，CD.由(1)及正三棱柱的性质可知△CPQ为等腰三角形，APQB为等腰梯形，所以CE⊥PQ，DE⊥PQ，所以∠CED为二面角A－PQ－C的平面角．连接C1E并延长交A1B1于点F，连接DF.因为＝＝λ，C1A1＝2，C1F＝，所以C1E＝λ，EF＝(1－λ)．在Rt△CC1E中可求得CE2＝＋3λ2，在Rt△DFE中可求得DE2＝＋3(1－λ)2.若平面CPQ⊥截面APQB，则∠CED＝90°，所以CE2＋DE2＝CD2，代入数据整理得3λ2－3λ＋＝0，解得λ＝，即存在满足题意的λ，λ＝.