高三数学 第35练 高考大题突破练—三角函数与平面向量-人教版高三全册数学试题VIP免费

第35练高考大题突破练——三角函数与平面向量训练目标(1)平面向量与三角函数解三角形的综合训练；(2)数形结合转化与化归的数学思想．训练题型(1)三角函数化简，求值问题；(2)三角函数图象及性质；(3)解三角形；(4)向量与三角形的综合．解题策略(1)讨论三角函数的性质，可先进行三角变换，化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式或复合函数；(2)以向量为载体的综合问题，要利用向量的运算及性质进行转化，脱去向量外衣.1.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－≤φ<)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f()＝(<α<)，求cos(α＋)的值．2．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足a2＋c2－b2＝ac.(1)求角B的大小；(2)若2bcosA＝(ccosA＋acosC)，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．3．(2016·贵阳第二次联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(a＋b，sinA－sinC)，向量n＝(c，sinA－sinB)，且m∥n.(1)求角B的大小；(2)设BC的中点为D，且AD＝，求a＋2c的最大值及此时△ABC的面积．4.(2016·天津一中月考)已知函数f(x)＝cos＋sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2AC·CB＝ab，c＝2，f(A)＝－，求△ABC的面积S.5．“郑一”号宇宙飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心(记为B，C，D)．当返回舱距地面1万米的P点的时(假定以后垂直下落，并在A点着陆)，C救援中心测得飞船位于其南偏东60°方向，仰角为60°，B救援中心测得飞船位于其南偏西30°方向，仰角为30°，D救援中心测得着陆点A位于其正东方向．(1)求B，C两救援中心间的距离；(2)D救援中心与着陆点A间的距离．答案精析1．解(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.又因为f(x)的图象关于直线x＝对称，所以2·＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z.由－≤φ<，得k＝0，所以φ＝－.(2)由(1)，得f(x)＝sin(2x－)，所以f()＝sin(2·－)＝，即sin(α－)＝.由<α<，得0<α－<，所以cos(α－)＝＝＝.因此cos(α＋)＝sinα＝sin[(α－)＋]＝sin(α－)cos＋cos(α－)sin＝×＋×＝.2．解(1)由余弦定理，得cosB＝＝＝.因为B是三角形的内角，所以B＝.(2)由正弦定理，得＝＝，代入2bcosA＝(ccosA＋acosC)，可得2sinBcosA＝(sinCcosA＋sinAcosC)，即2sinBcosA＝sinB.因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，所以cosA＝，所以A＝，则C＝π－A－B＝.设AC＝m(m>0)，则BC＝m，所以CM＝m.在△AMC中，由余弦定理，得AM2＝CM2＋AC2－2CM·AC·cos，即()2＝m2＋m2－2·m·m·(－)，整理得m2＝4，解得m＝2.所以S△ABC＝CA·CBsin＝×2×2×＝.3．解(1)因为m∥n，所以(a＋b)(sinA－sinB)－c(sinA－sinC)＝0.由正弦定理，得(a＋b)(a－b)－c(a－c)＝0，即a2＋c2－b2＝ac.由余弦定理，得cosB＝＝＝.因为B∈(0，π)，所以B＝.(2)设∠BAD＝θ，则在△BAD中，由B＝，可知θ∈(0，)．由正弦定理及AD＝，得＝＝＝2，所以BD＝2sinθ，AB＝2sin(－θ)＝cosθ＋sinθ.所以a＝2BD＝4sinθ，c＝AB＝cosθ＋sinθ.从而a＋2c＝2cosθ＋6sinθ＝4sin(θ＋)．由θ∈(0，)，可知θ＋∈(，)，所以当θ＋＝，即θ＝时，a＋2c取得最大值4.此时a＝2，c＝，所以S△ABC＝acsinB＝.4．解(1)∵函数f(x)＝cos＋sin2x＝cos2x－sin2x＋＝－sin2x，∴最小正周期T＝＝π，值域为.(2)∵2AC·CB＝ab，∴2ab·cos(π－C)＝ab，cosC＝－，∴C＝.又f(A)＝－，∴－sin2A＝－，sin2A＝，∴A＝，∴B＝.由正弦定理，得＝＝，即＝＝，解得a＝－，b＝2.∴S＝ab·sinC＝－1.5．解(1)由题意知PA⊥AC，PA⊥AB，则△PAC，△PAB均为直角三角形，在Rt△PAC中，PA＝1，∠PCA＝60°，解得AC＝，在Rt△PAB中，PA＝1，∠PBA＝30°，解得AB＝，又∠CAB＝90°，BC＝＝万米．(2)sin∠ACD＝sin∠ACB＝，cos∠ACD＝－，又∠CAD＝30°，所以sin∠ADC＝sin(30°＋∠ACD)＝，在△ADC中，由正弦定理，得＝，AD＝＝万米．