第23练定积分与微积分基本定理训练目标(1)定积分的概念；(2)微积分基本定理．训练题型(1)定积分的计算；(2)利用定积分求面积；(3)定积分的物理意义．解题策略(1)计算定积分的依据是微积分基本定理；(2)利用定积分求面积时可根据草图确定被积函数和积分上、下限.一、选择题1．(2016·安徽示范高中联考)dx等于()A．e2－2B．e－1C．e2D．e＋12．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v＝gt(g为常数)，则电视塔高为()A.gB．gC.gD．2g3．(2016·江西师大附中期末)若(x－a)dx＝∫0cos2xdx，则a等于()A．－1B．1C．2D．44.(2016·淄博一模)如图所示，曲线y＝x2－1，x＝2，x＝0，y＝0围成的阴影部分的面积为()A.|x2－1|dxB.C.(x2－1)dxD.(x2－1)dx＋(1－x2)dx5．(2016·天津蓟县期中)由直线y＝x和曲线y＝x3围成的封闭图形面积为()A.B.C．1D．26．(2016·辽宁师大附中期中)定积分dx的值为()A.B.C．πD．2π7．(2016·山西四校联考)定积分|x2－2x|dx等于()A．5B．6C．7D．88．若函数f(x)，g(x)满足－1f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是()A．0B．1C．2D．3二、填空题9．(2016·江西高安二中段考)已知－a(sinx＋3x2)dx＝16，则正实数a的值为________．10．(2017·德州月考)如图，已知点A，点P(x0，y0)(x0>0)在曲线y＝x2上，若阴影部分面积与△OAP面积相等，则x0＝________.11．设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且方向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为________J(x的单位：m；力的单位：N)．12．(2016·洛阳统考)用min{a，b}表示a，b两个数中的较小的数，设f(x)＝min{x2，}，那么由函数y＝f(x)的图象、x轴、直线x＝和直线x＝4所围成的封闭图形的面积为________.答案精析1．C[dx＝(lnx＋x2)＝lne－ln1＋e2－1＝e2.]2．C[由题意知电视塔高为gtdt＝gt2|＝2g－g＝g.]3．B[∵(x－a)dx＝cos2xdx，∴＝sin2x，∴－a＝，解得a＝1.故选B.]4．A[由曲线y＝|x2－1|的对称性，知所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即|x2－1|dx.]5．B[∵曲线y＝x3和曲线y＝x的交点为A(1,1)、原点O和B(－1，－1)，∴由定积分的几何意义，可得所求图形的面积S＝2(x－x3)dx＝2＝2＝.故选B.]6．A[∵y＝，∴(x－1)2＋y2＝1表示以(1,0)为圆心，以1为半径的圆，∴定积分dx所围成的面积就是该圆的面积的四分之一，∴定积分dx＝，故选A.]7．D[|x2－2x|＝|x2－2x|dx＝(x2－2x)dx＋(－x2＋2x)dx＝＋＝8.]8．C[①f(x)g(x)dx＝sinxcosxdx＝sinxdx＝(－cosx)＝0，故第①组是区间[－1,1]上的正交函数；②f(x)g(x)dx＝(x＋1)(x－1)dx＝(x2－1)dx＝(－x)＝－≠0，故第②组不是区间[－1,1]上的正交函数；③f(x)g(x)dx＝x·x2dx＝x3dx＝＝0，故第③组是区间[－1,1]上的正交函数．综上，满足条件的共有两组．]9．2解析根据题意可得(sinx＋3x2)dx＝(－cosx＋x3)＝2a3＝16，解得a＝2.10.解析∵点P(x0，y0)(x0>0)在曲线y＝x2上，∴y0＝x，则△OAP的面积S＝|OA||x0|＝×x0＝x0，阴影部分的面积为dx＝x3＝x，∵阴影部分面积与△OAP的面积相等，∴x＝x0，即x＝，又x0>0，∴x0＝＝.11．342解析变力F(x)＝x2＋1使质点M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10所做的功为W＝F(x)dx＝(x2＋1)dx＝＝342(J)．12.解析如图所示，所求图形的面积为阴影部分的面积，即所求的面积S＝
