问题33求圆锥曲线离心率或离心率范围一、考情分析离心率的范围问题是高考的热点问题,各种题型均有涉及,因联系的知识点较多,且处理的思路和方法比较灵活,关键在于如何找到不等关系式,从而得到关于离心率的不等式,进而求其范围.很多同学掌握起来比较困难,本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳.二、经验分享离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法．2.要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于a，c的齐次式，进而求解.(2)要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征＋≥2c的运用三、知识拓展1.在求椭圆离心率范围时常用的不等关系：，，（P为椭圆上一点）2.在双曲线中，，四、题型分析(一)借助平面几何图形中的不等关系根据平面图形的关系,如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系,然后将这些量结合曲线的几何性质用进行表示,进而得到不等式,从而确定离心率的范围.【例1】已知两定点和,动点在直线上移动,椭圆以为焦点且经过点,则椭圆的离心率的最大值为（）A．B．C.D．【答案】A【解析】关于直线的对称点为,连接交直线于点,则椭圆的长轴长的最小值为,所以椭圆的离心率的最大值为,故选A.【点评】求解本题的关键是利用对称性求距离的最小值【小试牛刀】已知椭圆与圆,若在椭圆上存在点P,使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直,则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】椭圆上长轴端点向圆外两条切线PA,PB,则两切线形成的角最小,若椭圆上存在点P令切线互相垂直,则只需,即,∴,解得,∴,即,而,∴,即.(二)借助题目中给出的不等信息根据试题本身给出的不等条件,如已知某些量的范围,存在点或直线使方程成立,的范围等,进一步得到离心率的不等关系式,从而求解.【例2】已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点,若设且则椭圆离心率的取值范围是.【答案】【解析】左焦点为.连结可得四边形是矩形,所以.所以又所以..又因为,.所以.即.因为所以.所以.故填.【点评】本题的关键是利用椭圆的定义建立等量关系式,然后借助已知条件利用三角函数的图象求解离心率的范围.【小试牛刀】【百校联盟2018届TOP202018届高三三月联考】．已知平行四边形内接于椭圆，且，斜率之积的范围为，则椭圆离心率的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意，关于原点对称，设，，，故选A.(三)借助函数的值域求解范围根据题设条件,如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式,通过确定函数的定义域后,利用函数求值域的方法求解离心率的范围.【例3】已知椭圆与双曲线有相同的焦点,则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】 椭圆,∴,,,, 双曲线,,,,∴由条件有,则,∴,由,有,,,∴,即,而,∴.【点评】本题根据题设“相同的焦点”建立等量关系,得到函数关系式,进而根据m的范围,借助反比例函数求解离心率的范围.【小试牛刀】已知二次曲线,则当时,该曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由当时,二次曲线为双曲线,双曲线即为,且,则,即有,故选C.(四)根据椭圆或双曲线自身的性质求范围在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质,如椭圆中,,P是椭圆上任意一点,则等.【例4】设为椭圆的左、右焦点,且,若椭圆上存在点使得,则椭圆的离心率的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设,由圆锥曲线的共同特征可得,所以,即,所以,又,解得,所以离心率的最小值为,故选D．【点评】为椭圆上的一点是本题的关键条件,根据圆锥曲线的共同特征把转化成基本量,,与的关系式,结合椭圆的范围,即可得到的不等式,从而求出其最小值．【小试牛刀】【天津市南开区2019届高三上数学期末】已知双曲线的左、右焦点分别为、，点...
