第十二章（理） 第三节 函数的极限与连续性VIP专享VIP免费

第十二章（理）第三节函数的极限与连续性题组一求函数的极限1.当m＜0，n＞0时，0limx的值为()A．－B．0C．1D.解析：0limx＝＝＝0.答案：B2．已知f(x)是关于x的三次函数，且2limx＝－2，3limx＝5，则43limx的值是()A.B.C．3D．不存在解析：根据条件可设f(x)＝(ax＋b)(x－2)(x－3)，再由2limx＝－2，3limx＝5，可得解之得故f(x)＝(3x－4)(x－2)(x－3)，∴43limx＝.答案：A3．若2limx＝P(P∈R，P为常数)，则a和P的值分别为()A．0，B．1，C.，D．－1，解析：已知x＝2是x2＋ax－2＝0的根，则a＝＝－1，∴2limx＝2limx＝∴P＝.答案：D4．求下列函数的极限．(1)limx；(2)limx；(3)2limx；1(4)1limx(－)．解：(1)limx＝limx＝＝－5.(2)∵x→－∞时，x＜0，∴x＝－，∴limx＝limx＝＝－1.(3)原式＝2limx＝2limx＝＝.(4)1limx(－)＝1limx＝1limx＝1limx＝－＝－1.题组二函数的连续性5.已知函数f(x)＝在x＝1处连续，则limx的值为()A．3B．2C．1D．0解析：∵f(x)在x＝1处连续，∴1limxf(x)＝1limxf(x)＝f(1)．对于来讲，因为分母中，当x＝1时1－1＝0，因此，分子必为x－1乘以某个因式的形式，则有当x＝1时，x2＋ax－3＝0⇒a＝＝2.又∵1limxf(x)＝1＋b，1limxf(x)＝1limx＝1limx(x＋3)＝4，∴1＋b＝4，b＝3，∴limx＝limx＝limx＝3.答案：A6．已知函数f(x)＝在x＝0处可导，则a，b的值依次为()A．1,1B．2,1C．1,2D．2,2解析：∵f(x)在x＝0处连续，2∴0limxf(x)＝f(0)＝1.∴0limxf(x)＝0limxf(x)．∴0limx(x2＋2x＋1)＝0limx(ax＋b)，∴b＝1.∵f(x)在x＝0处可导，∴0limx＝0limx.即2＝a，∴a＝2，b＝1.答案：B7．已知f(x)＝，在区间[－1，＋∞)上连续，求a，b的值．解：b＝1limxf(x)＝1limx＝＝，0limxf(x)＝0limx(x＋a)＝a，0limxf(x)＝0limx＝0limx＝1.∵f(x)在x＝0处连续，∴a＝1.综上所述，a＝1，b＝为所求．题组三函数的极限与连续性的综合应用8.若f(x)是定义在R上的连续函数，且1limx＝2，则f(1)＝()A．2B．1C．0D．－1解析：1limxf(x)＝1limx[·(x－1)]＝2×0＝0＝f(1)．答案：C9．已知函数f(x)＝(其中b＞0)，若1limxf(x)存在，且f(x)在(0,2)上有最大值，值b的取值范围是()A．(1，＋∞)B．[，1]C．[1，＋∞)D．(0,1]解析：1limxf(x)存在，即1limxf(x)＝1limxf(x)，则b＝，a＝1.于是f(x)＝当0＜x＜1时，b－1＜f(x)＜b；当1≤x＜2时，f(x)＝＝1＋.由于f(x)在(0,2)上有最大值，3则1－b≥0，即0＜b≤1.答案：D10．若1limx＝3，则直线Ax＋By＋C＝0的倾斜角为()A．π－arctanB．arctanC．π－arctanD．arctan解析：由于1limx＝3，则1是x2＋Ax＋B＝0的根，1＋A＋B＝0，B＝－A－1，代入原式得1limx＝1limx＝，A＝4，B＝－5，则直线Ax＋By＋C＝0的倾斜角为arctan.答案：B11．已知函数f(x)＝在区间(0,1)内连续且f(c2)＝.(1)求实数k和c的值；(2)解不等式f(x)＞＋1.解：(1)∵0＜c＜1∴c2＜c.∴f(c2)＝c3＋1＝，∴c＝.∴f(x)＝.又∵f(x)在(0,1)内连续，∴f(x)在x＝处连续．由于12limxf(x)＝1()2limx(2－4x＋k)＝2－2＋k，1()2limx(x＋1)＝×＋1＝.∴2－2＋k＝，∴k＝1.(2)由(1)知f(x)＝.由f(x)＞＋1，①当0＜x＜时，x＋1＞＋1，得＜x＜；②当≤x＜1时，2－4x＋1＞＋1，得≤x＜.综上f(x)＞＋1的解集为{x|＜x＜}．4