第十一章（理） 第3节 二项式定理VIP免费

第十一章第三节二项式定理题组一求展开式中的指定项和特定项1.(2009·重庆高考)(x2＋)8的展开式中x4的系数是()A．16B．70C．560D．1120解析：由二项展开式通项公式得Tr＋1＝(x2)()r＝2r.由16－3r＝4，r＝4，则x4的系数为24＝1120.答案：D2．(x－)12的展开式中的常数项为()A．－1320B．1320C．－220D．220解析：展开式的通项是Tr＋1＝x12－r(－)r＝(－1)rx，令12－＝0，得r＝9，故展开式的常数项是T10＝(－1)9＝－220.答案：C3．(2009·湖南高考)在(1＋x)3＋(1＋)3＋(1＋)3的展开式中，x的系数为________(用数字作答)．解析：＋＋＝23－1＝7.答案：74．若6的二项展开式中x3的系数为，则a＝__________(用数字作答)．解析：通项Tr＋1＝·，当12－3r＝3时，r＝3，所以系数为·a－3＝，得a＝2.答案：2题组二求展开式中各项系数的和5.在n的展开式中，所有奇数项的系数之和为1024，则中间项系数是()A．330B．462C．682D．792解析：∵二项式的展开式的所有项的二项式系数和为2n，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等．由题意得，2＝1024，∴n＝11，∴展开式共有12项，中间项为第六项、第七项，系数为＝＝462.答案：B6．(2009·陕西高考)若(1－2x)2009＝a0＋a1x＋…＋a2009x2009(x∈R)，则＋＋…＋的值为()A．2B．0C．－1D．－2解析：令x＝0，则a0＝1，1令x＝，则a0＋＋＋…＋＝0，∴＋＋…＋＝－1.答案：C7．(2010·黄石模拟)(1＋ax＋by)n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为()A．a＝2，b＝－1，n＝5B．a＝－2，b＝－1，n＝6C．a＝－1，b＝2，n＝6D．a＝1，b＝2，n＝5解析：不含x的项的系数的绝对值为(1＋|b|)n＝243＝35，不含y的项的系数的绝对值为(1＋|a|)n＝32＝25，∴n＝5，答案：D8．若(x－2)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________.(用数字作答)解析：由题设令x＝0得a0＝(－2)5＝－32，令x＝1得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝(1－2)5＝－1，故a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1－(－32)＝31.答案：31题组三求展开式中系数最大项问题9.在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为()A．－7B．7C．－28D．28解析：依题意，＋1＝5，∴n＝8.二项式为8，易得常数项为26＝7.答案：B10．(2010·贵阳模拟)(＋)n的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则(1－x)n的展开式中系数最小的项的系数等于________．解析：展开式中，各项系数的和为4n，各项二项式系数的和为2n，由已知得2n＝64，所以n＝6，(1－x)6的展开式中，第四项的系数最小，为－＝－20.答案：－2011．二项式(1＋sinx)n的展开式中，末尾两项的二项式系数之和为7，且二项式系数最大的一项的值为，则x在(0,2π)内的值为________．解析：由已知可得C＋C＝n＋1＝7，即得n＝6，二项式系数最大的一项为·sin3x＝20sin3x＝，解得sinx＝，又x∈(0,2π)，∴x＝或.答案：或2题组四二项式定理的综合应用12.若(x－)n的展开式中含有非零常数项，则这样的正整数n的最小值是()A．3B．4C．10D．12解析：Tr＋1＝C(x)n－r(－)r＝C()n－r(－1)r()r·xn－r·x－＝C()n－r(－)rxn－，令n－r＝0，得n＝r.∴n取最小值为4.答案：B13．令an为(1＋x)的展开式中含x项的系数，则数列{}的前n项和为()A.B.C.D.解析：∵Tr＋1＝C·xr，∴an＝＝C＝，＝，∴＝2＝2＝.答案：D14．已知(xcosθ＋1)5的展开式中x2的系数与(x＋)4的展开式中x3的系数相等，则cosθ＝__________.解析：(xcosθ＋1)5＝(1＋xcosθ)5，展开式中x2的系数为cos2θ.(x＋)4＝(＋x)4，展开式中x3的系数为，由题意可知cos2θ＝，∴cos2θ＝，∴cosθ＝±.答案：±15．关于二项式(x－1)2005，有下列命题：①该二项展开式中非常数项的系数之和是1；②该二项展开式中第六项为x1999；③该二项展开式中系数最大的项是第1002项；④当x＝2006时，(x－1)2005除以2006的余数是2005.其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确的命题序号都填上)解析：二项式(x－1)2005所有项的系数和为0，其常数项为－1，非常数项的系数和是1，即得①正确；二项展开式的第六项为－x2000，即得②错误；二项展开式中系数绝对值最大的项为C2005x1003＝x1003，－C2005x1002＝－x1002，得系数最大的项是第1003项·x1003，即③错误；当x＝2006时，(x－1)2005除以2006的余数是2006－1＝2005，即④正确．答案：①④3