第六章 第二节 一元二次不等式及其解法VIP免费

第六章第二节一元二次不等式及其解法题组一一元二次不等式的解法1.不等式≥2的解集是()A．[－3，]B．[－，3]C．[，1)∪(1,3]D．[－，1)∪(1,3]解析：法一：首先x≠1，在这个条件下根据不等式的性质原不等式可以化为x＋5≥2(x－1)2，即2x2－5x－3≤0，即(2x＋1)(x－3)≤0，解得－≤x≤3，故原不等式的解集是[－，1)∪(1,3]．法二：特殊值检验法．首先x≠1，排除B，显然x＝0，x＝2是不等式的解，排除A、C.答案：D2．解关于x的不等式12x2－ax>a2(a∈R)．解：由12x2－ax－a2>0⇔(4x＋a)(3x－a)>0⇔(x＋)(x－)>0，①a>0时，－<，解集为{x|x<－或x>}；②a＝0时，x2>0，解集为{x|x∈R且x≠0}；③a<0时，－>，解集为{x|x<或x>－}．题组二一元二次不等式的实际应用3.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是()A．100台B．120台C．150台D．180台解析：依题意得25x≥3000＋20x－0.1x2，整理得x2＋50x－30000≥0，解得x≥150或x≤－200，因为0＜x＜240，所以150≤x＜240，即最低产量是150台．答案：C4．某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？解：(1)由题意得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1000(1＋0.6x)(0＜x＜1)，整理得y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1)．1(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有即解得0＜x＜.∴投入成本增加的比例应在(0，)范围内．题组三不等式的恒成立问题5.若不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是()A．a≥2或a≤－3B．a＞2或a≤－3C．a＞2D．－2＜a＜2解析：原不等式可化为(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0，显然a＝－2时不等式不恒成立，所以要使不等式对于任意的x均成立，必须有a＋2＞0，且Δ＜0，即解得a＞2.答案：C6．(2010·宁波模拟)设奇函数f(x)在[－1,1]上是单调函数，且f(－1)＝－1，若函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立，当a∈[－1,1]时，则t的取值范围是________．解析： f(x)为奇函数，f(－1)＝－1，∴f(1)＝－f(－1)＝1.又 f(x)在[－1,1]上是单调函数，∴－1≤f(x)≤1，∴当a∈[－1,1]时，t2－2at＋1≥1恒成立，即t2－2at≥0恒成立，令g(a)＝t2－2at，a∈[－1,1]，∴∴∴t≥2或t＝0或t≤－2.答案：(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)7．已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的范围．(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的范围．解：(1)f(x)≥a恒成立，即x2＋ax＋3－a≥0恒成立，必须且只需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，∴－6≤a≤2.(2)f(x)＝x2＋ax＋3＝(x＋)2＋3－.①当－＜－2，即a＞4时，f(x)min＝f(－2)＝－2a＋7，由－2a＋7≥a得a≤，∴a∈∅.②当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，f(x)min＝3－，由3－≥a，得－6≤a≤2.∴－4≤a≤2.③当－＞2，即a＜－4时，f(x)min＝f(2)＝2a＋7，2由2a＋7≥a，得a≥－7，∴－7≤a＜－4.综上得a∈[－7,2]．题组四一元二次不等式的综合应用8.不等式x2－|x|－2<0的解集是()A．{x|－22}C．{x|－11}解析：原不等式⇔|x|2－|x|－2<0⇔(|x|－2)(|x|＋1)<0⇔|x|－2<0⇔－24的解集为{x|x<1或x>b}，(1)求a，b；(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.解：(1)因为不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数...