第六章第四节基本不等式：≤题组一利用基本不等式求最值1.设x、y均为正实数，且＋＝1，则xy的最小值为()A．4B．4C．9D．16解析：由＋＝1可得xy＝8＋x＋y. x，y均为正实数，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2(当且仅当x＝y时等号成立)，即xy－2－8≥0，可解得≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16.答案：D2．(2009·天津高考)设a>0，b>0.若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为()A．8B．4C．1D.解析： 是3a与3b的等比中项，∴()2＝3a·3b.即3＝3a＋b，∴a＋b＝1.此时＋＝＋＝2＋(＋)≥2＋2＝4(当且仅当a＝b＝取等号)．答案：B3．已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A．8B．6C．4D．2解析：(x＋y)(＋)＝1＋a·＋＋a≥a＋1＋2＝a＋2＋1，当且仅当a·＝等号成立，所以()2＋2＋1≥9，即()2＋2－8≥0，得≥2或≤－4(舍)，所以a≥4，即a的最小值为4.答案：C4．(2010·太原模拟)若直线ax－by＋2＝0(a>0，b>0)和函数f(x)＝ax＋1＋1(a>0且a≠1)的图象恒过同一个定点，则当＋取最小值时，函数f(x)的解析式是________．解析：函数f(x)＝ax＋1＋1的图象恒过(－1,2)，故a＋b＝1，＋＝(a＋b)(＋)＝＋＋≥＋.当且仅当b＝a时取等号，将b＝a代入a＋b＝1得a＝2－2，故f(x)＝(2－2)x＋1＋1.答案：f(x)＝(2－2)x＋1＋1题组二利用基本不等式证明不等式5.已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则()A．ab≤B．ab≥C．a2＋b2≥2D．a2＋b2≤3解析：法一：由≥得ab≤()2＝1，又a2＋b2≥2ab⇒2(a2＋b2)≥(a＋b)2⇒a2＋b2≥2.法二：(特值法)取a＝0，b＝2满足a＋b＝2，代入选项可排除B、D.又取a＝b＝1满足a＋b＝2.但ab＝1，可排除A.答案：C16．设a、b是正实数，以下不等式①>；②a>|a－b|－b；③a2＋b2>4ab－3b2；④ab＋>2恒成立的序号为()A．①③B．①④C．②③D．②④解析： a、b是正实数，∴①a＋b≥2⇒1≥⇒≥.当且仅当a＝b时取等号，∴①不恒成立；②a＋b>|a－b|⇒a>|a－b|－b恒成立；③a2＋b2－4ab＋3b2＝(a－2b)2≥0，当a＝2b时，取等号，∴③不恒成立；④ab＋≥2＝2>2恒成立．答案：D7．已知a、b、c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，求证：(－1)(－1)(－1)≥8.证明： a、b、c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，∴(－1)(－1)(－1)＝＝≥＝8.当且仅当a＝b＝c＝时取等号．题组三基本不等式的实际应用8.(2010·惠州模拟)某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(00)，即x＝10时取等号．∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38880元．(2)由限制条件知，∴10≤x≤16.设g(x)＝x＋(10≤x≤16)，由函数性质易知g(x)在[10，16]上是增函数，∴当x＝10时(此时＝16)，g(x)有最小值，即f(x)有最小值1296×(10＋)＋12960＝38882(元)．∴当长为16米，宽为10米时，...
