第五章 第五节 数列的综合应用VIP免费

第五章第五节数列的综合应用题组一等差、等比数列的综合问题1.已知a，b，c成等比数列，a，m，b和b，n，c分别成两个等差数列，则＋等于()A．4B．3C．2D．1解析：由题意得b2＝ac,2m＝a＋b,2n＝b＋c，则＋＝＝＝＝2.答案：C2．数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a6＝b7，则有()A．a3＋a9≤b4＋b10B．a3＋a9≥b4＋b10C．a3＋a9≠b4＋b10D．a3＋a9与b4＋b10的大小不确定解析： a3＋a9≥2＝2＝2a6＝2b7＝b4＋b10，当且仅当a3＝a9时，不等式取等号．答案：B3．(文)已知等差数列{an}的前n项和为Sn且满足a2＝3，S6＝36.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}是等比数列且满足b1＋b2＝3，b4＋b5＝24.设数列{an·bn}的前n项和为Tn，求Tn.解：(1) 数列{an}是等差数列，∴S6＝3(a1＋a6)＝3(a2＋a5)＝36. a2＝3，∴a5＝9，∴3d＝a5－a2＝6，∴d＝2，又 a1＝a2－d＝1，∴an＝2n－1.(2)由等比数列{bn}满足b1＋b2＝3，b4＋b5＝24，得＝q3＝8，∴q＝2， b1＋b2＝3，∴b1＋b1q＝3，∴b1＝1，bn＝2n－1，∴an·bn＝(2n－1)·2n－1.∴Tn＝1×1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－3)·2n－2＋(2n－1)·2n－1，则2Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n，两式相减得(1－2)Tn＝1×1＋2×2＋2×22＋…＋2·2n－2＋2·2n－1－(2n－1)·2n，即－Tn＝1＋2(21＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)·2n＝1＋2(2n－2)－(2n－1)·2n＝(3－2n)·2n－3，∴Tn＝(2n－3)·2n＋3.(理)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，数列{an＋Sn}是公差为2的等差数列．(1)求a2，a3；(2)证明：数列{an－2}为等比数列；(3)求数列{nan}的前n项和Tn.解：(1) 数列{an＋Sn}是公差为2的等差数列，1∴(an＋1＋Sn＋1)－(an＋Sn)＝2，即an＋1＝. a1＝1，∴a2＝，a3＝.(2)证明：由题意得a1－2＝－1，又 ＝＝，∴{an－2}是首项为－1，公比为的等比数列．(3)由(2)得an－2＝－()n－1，∴nan＝2n－n·()n－1，∴Tn＝(2－1)＋(4－2·)＋[6－3·()2]＋…＋[2n－n·()n－1]，＝(2＋4＋6＋…＋2n)－[1＋2·＋3·()2＋…＋n·()n－1]，设An＝1＋2·＋3·()2＋…＋n·()n－1，①∴An＝＋2·()2＋3·()3＋…＋n·()n，②①－②得An＝1＋＋()2＋…＋()n－1－n·()n，∴An＝－n·()n，∴An＝4－(n＋2)·()n－1，∴Tn＝＋(n＋2)·()n－1－4＝(n＋2)·()n－1＋n(n＋1)－4.题组二以等差数列为模型的实际问题4.气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为元(n∈N＋)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)为止，一共使用了()A．600天B．800天C．1000天D．1200天解析：由第n天的维修保养费为元(n∈N＋)，可以得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成立时相应n的值．设一共使用了n天，则使用n天的平均耗资为＝＋＋4.95，当且仅当＝时，取得最小值，此时n＝800.答案：B5．若数列{an}满足－＝d(n∈N+，d为常数)，则称数列{an}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝________.解析：由题意，若{an}为调和数列，则{}为等差数列，所以{}为调和数列，则可得数列{xn}为等差数列，由等差数列的性质可知，x5＋x16＝x1＋x20＝x2＋x19＝…＝＝20.答案：206．(2010·安庆模拟)某市2009年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数．解：设第n天新患者人数最多，则从n＋1天起该市医疗部门采取措施，于是，前n天流感病毒感染者总人数，构成一个首项为20，公差为50的等差数列的n项和，Sn＝20n＋×50＝25n2－5n(1≤n≤30，n∈N)，而后30－n天的流感病毒感染者总人数，2构成一个首项为20＋(n－1)×50－30＝50n－60，公差为30，项数为30－n的等差数列的和，Tn＝(30－n)(50n－60)＋...