第二章第四节函数的奇偶性与周期性题组一函数的奇偶性的判定1.已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.A.①③B.②③C.①④D.②④解析：由奇函数的定义验证可知②④正确，选D.答案：D2.(2010·泉州模拟)若x∈R、n∈N*，定义：M＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋n－1)，例如M＝(－5)(－4)(－3)(－2)(－1)＝－120，则函数f(x)＝xM的奇偶性为()A.是奇函数而不是偶函数B.是偶函数而不是奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数解析：f(x)＝xM＝x(x－9)(x－8)…(x＋8)(x＋9)＝x2(x2－92)(x2－82)…(x2－1)∴f(x)为偶函数.答案：B3.(2009·浙江高考)若函数f(x)＝x2＋(a∈R)，则下列结论正确的是()A.对任意a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数B.对任意a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数C.存在a∈R，使f(x)是偶函数D.存在a∈R，使f(x)是奇函数解析：当a＝16时，f(x)＝x2＋，f′(x)＝2x－，令f′(x)＞0得x＞2.∴f(x)在(2，＋∞)上是增函数，故A、B错.当a＝0时，f(x)＝x2是偶函数，故C正确.D显然错误.答案：C题组二函数奇偶性的应用4.已知函数f(x)＝ax4＋bcosx－x，且f(－3)＝7，则f(3)的值为()A.1B.－7C.4D.－101解析：设g(x)＝ax4＋bcosx，则g(x)＝g(－x).由f(－3)＝g(－3)＋3，得g(－3)＝f(－3)－3＝4，所以g(3)＝g(－3)＝4，所以f(3)＝g(3)－3＝4－3＝1.答案：A5.设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝()A.0B.1C.D.5解析：由f(1)＝，对f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，令x＝－1，得f(1)＝f(－1)＋f(2).又 f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1).于是f(2)＝2f(1)＝1；令x＝1，得f(3)＝f(1)＋f(2)＝，于是f(5)＝f(3)＋f(2)＝.答案：C6.定义在R上的奇函数f(x)满足：当x＞0时，f(x)＝2008x＋log2008x，则方程f(x)＝0的实根的个数为.解析：当x＞0时，f(x)＝0即2008x＝－log2008x，在同一坐标系下分别画出函数f1(x)＝2008x，f2(x)＝－log2008x的图象，可知两个图象只有一个交点，即方程f(x)＝0只有一个实根，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x＜0时，方程f(x)＝0也有一个实根，又因为f(0)＝0，所以方程f(x)＝0的实根的个数为3.答案：3题组三函数的周期性7.已知f(x)在R上是奇函数，且满足21,21,aa≤f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝()A.－2B.2C.－98D.98解析：由f(x＋4)＝f(x)，得f(7)＝f(3)＝f(－1)，又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，f(1)＝2×12＝2，∴f(7)＝－2.答案：A8.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x)＝－f(x＋)，f(－1)＝1，f(0)＝－2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2007)的值为()A.－2B.0C.1D.2解析：由已知可得f(x＋3)＝－f(x＋)＝f(x)，∴函数f(x)是以3为周期的函数，∴f(1)＝1，f(3)＝－2，f(2)＝1，且f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，∴原式＝[f(1)＋f(2)2＋f(3)]×669＝0.答案：B题组四函数性质的综合应用9.(2009·陕西高考)定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有＜0，则()A.f(3)＜f(－2)＜f(1)B.f(1)＜f(－2)＜f(3)C.f(－2)＜f(1)＜f(3)D.f(3)＜f(1)＜f(－2)解析：由已知＜0，得f(x)在x∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f(3)＜f(－2)＜f(1).此类题能用数形结合更好.答案：A10.(2009·福建高考)定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如右图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是()A.y＝x2＋1B.y＝|x|＋1C.y＝321,01,0xxxx≥D.y＝e,0e,0xxxx≥解析： f(x)为偶函数，由图象知，f(x)在(－2,0)上为减函数，而y＝x3＋1在(－∞，0)上为增函数.答案：C11.(2009·山东高考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数.若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝.解析：由f(x－4)＝－f(x)⇒f(4－x)＝f(x)，故函数图象关于直线x＝2对称，又函数f(x)在[0,2]上是增函数，且为奇函数，故f(0)＝0，故函数f(x)在(0,2]上大于0，根据对称性知函数f(x)在[2,4)上大于0，同理推知函数f(x)在(4,8)上小于0，故在区间(0,8)上方程f(x)＝m(...
