第二章 第一节 映射、函数及反函数VIP免费

第二章第一节映射、函数及反函数题组一函数与映射的概念1.(2010·黄冈模拟)设f：x→x2是从集合A到集合B的映射，如果B＝{1,2}，则A∩B为()A.∅B.{1}C.∅或{2}D.∅或{1}解析：由已知x2＝1或x2＝2，解之得x＝±1或x＝±.若1∈A，则A∩B＝{1}，若1∉A，则A∩B＝∅.故A∩B＝∅或{1}.答案：D2.下列各组函数中，表示同一函数的是()A.y＝55x与y＝2xB.y＝lnex与y＝elnxC.y＝(1).(3)1xxx与y＝x＋3D.y＝x0与y＝01x解析：对于命题A，对应关系不同；对于命题B，定义域不同；对于命题C，定义域不同；对于命题D，y＝x0(x≠0)与y＝01x(x≠0)完全相同，故应选D.答案：D3.已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：x123f(x)231x123g(x)321则方程g(f(x))＝x的解集为()A.{1}B.{2}C.{3}D.∅解析：当x＝1时，g(f(1))＝g(2)＝2，不合题意；当x＝2时，g(f(2))＝g(3)＝1，不合题意；当x＝3时，g(f(3))＝g(1)＝3，符合题意.答案：C1题组二函数解析式的求法4.(2010·临安模拟)已知函数f(x)的图象是两条线段(如图，不含端点)，则f[f()]＝()A.－B.C.－D.解析：由图象知f(x)＝1(10).1(01)xxxx∴f()＝－1＝－，∴f[f()]＝f(－)＝－＋1＝.答案：B5.已知f(11xx)＝2211xx，则f(x)的解析式为()A.f(x)＝21xxB.f(x)＝－221xxC.f(x)＝221xxD.f(x)＝－21xx解析：由f(11xx)＝2211xx，令t＝11xx，则x＝11tt，∴2211xx＝2211()111()1tttt＝221tt，即f(t)＝221tt，∴f(x)＝221xx.答案：C6.已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f(1x)x－1，则f(x)＝.解析：考虑到所给式子中含有f(x)和f(1x)，故可考虑利用换元法进行求解.2在f(x)＝2f(1x)x－1中，用1x代替x，得f(1x)＝2f(x)1x－1，将f(1x)＝2()fxx－1代入f(x)＝2f(1x)x－1中，可求得f(x)＝x＋.答案：x＋题组三反函数问题7.(2009·陕西高考)函数f(x)＝24x(x≥4)的反函数为()A.f－1(x)＝x2＋2(x≥0)B.f－1(x)＝x2＋2(x≥2)C.f－1(x)＝x2＋4(x≥0)D.f－1(x)＝x2＋4(x≥2)解析：由x≥4得f(x)≥2，反函数的定义域为[2，＋∞)，故可排除A、C，由y＝得x＝y2＋2，故f(x)的反函数为f－1(x)＝x2＋2，x≥2.答案：B8.函数y＝ax＋1与y＝loga(x＋1)(其中a>0且a≠1)的图象关于()A.直线y＝x对称B.直线y＝x－1对称C.直线y＝x＋1对称D.直线y＝－x＋1对称解析：∵函数y＝ax与y＝logax互为反函数，∴它们的图象关于直线y＝x对称，而函数y＝ax＋1与y＝loga(x＋1)的图象分别是由函数y＝ax与y＝logax的图象向左平移1个单位而得，∴函数y＝ax＋1与y＝loga(x＋1)的图象的对称轴可以由直线y＝x向左平移1个单位得到，即对称轴为y＝x＋1.答案：C9.(2009·重庆高考)记f(x)＝log3(x＋1)的反函数为y＝f－1(x)，则方程f－1(x)＝8的解x＝.解析：由f－1(x)＝8得x＝f(8)＝log39＝2.答案：2题组四函数与映射的综合应用10.设函数f(x)＝2,0,2,0.xbxcxx≤若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为()A.1B.2C.3D.4解析：法一：若x≤0，f(x)＝x2＋bx＋c.3∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，222(4)(4),4,2.(2)(2)2,42,0,()2,0.bccbcbcxxxfxx解得≤当x≤0时，由f(x)＝x，得x2＋4x＋2＝x，解得x＝－2，或x＝－1；当x＞0时，由f(x)＝x，得x＝2.∴方程f(x)＝x有3个解.法二：由f(－4)＝f(0)且f(－2)＝－2，可得f(x)＝x2＋bx＋c的对称轴是x＝－2，且顶点为(－2，－2)，于是可得到f(x)的简图(如图所示).方程f(x)＝x的解的个数就是函数图象y＝f(x)与y＝x的图象的交点的个数，所以有3个解.答案：C11.如果f(a＋b)＝f(a)·f(b)，且f(1)＝2，则(2)(1)ff＋(4)(3)ff＋(6)(5)ff＋…＋(2006)(2005)ff＋(2008)(2007)ff＋(2010)(2009)ff＝.解析：f(2)＝f(1)f(1)＝22，(2)(1)ff＝2，f(3)＝f(1)f(2)＝23，f(4)＝f(2)f(2)＝24，(4)(3)ff＝2，…(2010)(2009)ff＝2，∴原式＝2×1005＝2010.答案：201012.下面是一个电子元件在处理数据时的流程图：(1)试确定y与x的函数关系式；(2)求f(－3)、f(1)的值；(3)若f(x)＝16，求x的值.4解：(1)22(2),1,2,1.xxyxx≥(2)f(－3)＝(－3)2＋2＝11；f(1)＝(1＋2)2＝9.(3)若x≥1，则(x＋2)2＝16，解得x＝2或x＝－6(舍)；若x＜1，则x2＋2＝16，解得x＝(舍)或x＝－.即x＝2或x＝－.5