第二章第一节映射、函数及反函数题组一函数与映射的概念1.(2010·黄冈模拟)设f:x→x2是从集合A到集合B的映射,如果B={1,2},则A∩B为()A.∅B.{1}C.∅或{2}D.∅或{1}解析:由已知x2=1或x2=2,解之得x=±1或x=±.若1∈A,则A∩B={1},若1∉A,则A∩B=∅.故A∩B=∅或{1}.答案:D2.下列各组函数中,表示同一函数的是()A.y=55x与y=2xB.y=lnex与y=elnxC.y=(1).(3)1xxx与y=x+3D.y=x0与y=01x解析:对于命题A,对应关系不同;对于命题B,定义域不同;对于命题C,定义域不同;对于命题D,y=x0(x≠0)与y=01x(x≠0)完全相同,故应选D.答案:D3.已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表:x123f(x)231x123g(x)321则方程g(f(x))=x的解集为()A.{1}B.{2}C.{3}D.∅解析:当x=1时,g(f(1))=g(2)=2,不合题意;当x=2时,g(f(2))=g(3)=1,不合题意;当x=3时,g(f(3))=g(1)=3,符合题意.答案:C1题组二函数解析式的求法4.(2010·临安模拟)已知函数f(x)的图象是两条线段(如图,不含端点),则f[f()]=()A.-B.C.-D.解析:由图象知f(x)=1(10).1(01)xxxx∴f()=-1=-,∴f[f()]=f(-)=-+1=.答案:B5.已知f(11xx)=2211xx,则f(x)的解析式为()A.f(x)=21xxB.f(x)=-221xxC.f(x)=221xxD.f(x)=-21xx解析:由f(11xx)=2211xx,令t=11xx,则x=11tt,∴2211xx=2211()111()1tttt=221tt,即f(t)=221tt,∴f(x)=221xx.答案:C6.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=2f(1x)x-1,则f(x)=.解析:考虑到所给式子中含有f(x)和f(1x),故可考虑利用换元法进行求解.2在f(x)=2f(1x)x-1中,用1x代替x,得f(1x)=2f(x)1x-1,将f(1x)=2()fxx-1代入f(x)=2f(1x)x-1中,可求得f(x)=x+.答案:x+题组三反函数问题7.(2009·陕西高考)函数f(x)=24x(x≥4)的反函数为()A.f-1(x)=x2+2(x≥0)B.f-1(x)=x2+2(x≥2)C.f-1(x)=x2+4(x≥0)D.f-1(x)=x2+4(x≥2)解析:由x≥4得f(x)≥2,反函数的定义域为[2,+∞),故可排除A、C,由y=得x=y2+2,故f(x)的反函数为f-1(x)=x2+2,x≥2.答案:B8.函数y=ax+1与y=loga(x+1)(其中a>0且a≠1)的图象关于()A.直线y=x对称B.直线y=x-1对称C.直线y=x+1对称D.直线y=-x+1对称解析:∵函数y=ax与y=logax互为反函数,∴它们的图象关于直线y=x对称,而函数y=ax+1与y=loga(x+1)的图象分别是由函数y=ax与y=logax的图象向左平移1个单位而得,∴函数y=ax+1与y=loga(x+1)的图象的对称轴可以由直线y=x向左平移1个单位得到,即对称轴为y=x+1.答案:C9.(2009·重庆高考)记f(x)=log3(x+1)的反函数为y=f-1(x),则方程f-1(x)=8的解x=.解析:由f-1(x)=8得x=f(8)=log39=2.答案:2题组四函数与映射的综合应用10.设函数f(x)=2,0,2,0.xbxcxx≤若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:法一:若x≤0,f(x)=x2+bx+c.3∵f(-4)=f(0),f(-2)=-2,222(4)(4),4,2.(2)(2)2,42,0,()2,0.bccbcbcxxxfxx解得≤当x≤0时,由f(x)=x,得x2+4x+2=x,解得x=-2,或x=-1;当x>0时,由f(x)=x,得x=2.∴方程f(x)=x有3个解.法二:由f(-4)=f(0)且f(-2)=-2,可得f(x)=x2+bx+c的对称轴是x=-2,且顶点为(-2,-2),于是可得到f(x)的简图(如图所示).方程f(x)=x的解的个数就是函数图象y=f(x)与y=x的图象的交点的个数,所以有3个解.答案:C11.如果f(a+b)=f(a)·f(b),且f(1)=2,则(2)(1)ff+(4)(3)ff+(6)(5)ff+…+(2006)(2005)ff+(2008)(2007)ff+(2010)(2009)ff=.解析:f(2)=f(1)f(1)=22,(2)(1)ff=2,f(3)=f(1)f(2)=23,f(4)=f(2)f(2)=24,(4)(3)ff=2,…(2010)(2009)ff=2,∴原式=2×1005=2010.答案:201012.下面是一个电子元件在处理数据时的流程图:(1)试确定y与x的函数关系式;(2)求f(-3)、f(1)的值;(3)若f(x)=16,求x的值.4解:(1)22(2),1,2,1.xxyxx≥(2)f(-3)=(-3)2+2=11;f(1)=(1+2)2=9.(3)若x≥1,则(x+2)2=16,解得x=2或x=-6(舍);若x<1,则x2+2=16,解得x=(舍)或x=-.即x=2或x=-.5