第三讲：圆锥曲线的几何性质VIP免费

第三讲：圆锥曲线的几何性质一、焦点三角形问题（三个常见的结论）（要知道θ最大时的点P位置）例1、双曲线x２／9－y2/16=1的两焦点为Ｆ１、Ｆ２，点Ｐ在双曲线右支上，（1）若∠ＰＦ1Ｆ2＝60°,则点Ｐ到x轴的距离为（2）判断ΔＰＦ1Ｆ2的内切圆与边F1F2切点的位置。（3）设∠ＰＦ1Ｆ2＝α，∠ＰＦ2Ｆ1＝β，求证：tanα/2·tanβ/2=(e－1)/(e+1).二、抛物线的焦点弦性质①焦半径公式②焦点弦长公式③以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切；从切点看弦ＡＢ的张角是直角。④以焦半径为直径的圆与y轴相切。⑤A、O、B`三点共线。⑥Ａ`F平分∠AFO,B`F平分∠BFO;Ａ`F⊥AB.⑦AN是抛物线的切线且垂直平分Ａ`F;BN也是抛物线的切线。结论：过抛物线的准线上的一点作抛物线的切线，两切点的连线经过焦点。反之也成立。⑧两条焦半径的倒数和是定值，为2/p.性质的证明。思考：（1）在有心圆锥曲线中又有怎样的性质呢？（2）求证：以双曲线的焦点弦为直径的圆被该焦点相应的准线截得的圆弧的度数为定值。例2、AB是抛物线的一条不垂直于其对称轴的焦点弦，设AB的中垂线交抛物线的对称PθF1F2PθF1F2oxyB`A`NKABFθ轴于R点，求证:|AB|=2|RF|（其中Ｆ是抛物线的焦点）。思考：在有心圆锥曲线中又有怎样的结论？例3、设点Ｒ（x0,0）是抛物线y2=2px(p>0)的对称轴的上一定点,过Ｒ的直线交抛物线于Ｐ、Ｑ两点，（1）求证：Ｐ、Ｑ两点对应坐标的乘积是定值。（2）求证：抛物线在Ｐ、Ｑ两点的切线的交点的横坐标是定值。（逆命题也成立）（3）设抛物线在Ｐ、Ｑ两点的切线的交点为Ｇ，求证：过Ｇ做直线ＡＢ的垂线与x轴的交点为定点。且定点与点Ｒ之间的距离为定值。（4）若x0=2R，求证：OP⊥OQ.(反之也成立)思考：在有心圆锥曲线中是否有类似的结论？[练习]（1）已知P、Q是抛物线y2=2px(p>0)上两动点，满足OP⊥OQ，过Ｏ作OM⊥PQ于M，求动点Ｍ的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？（2）已知直线L过定点A(4,0)且与抛物线y2=2px(p>0)交于P、Q两点，若以PQ为直径的圆恒过原点O，求p的值新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆.例4、给定圆锥曲线Ax2+Cy2=1和动直线mx+ny=1相交于P、Q两点，Ｏ是原点，且oxyRMFBAOxyGRFQPOP⊥OQ，求证：(1)m2+n2=A+C.(2)原点到直线mx+ny=1的距离是定值。［配套练习］（1）直线2x+ky+3=0与双曲线5x2－3y2=1相交于Ａ、Ｂ两点，满足OA⊥OB,则k=.（2）已知椭圆对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，离心率为,它和直线x+y+1=0相交于P、Q两点，满足OP⊥OQ，则椭圆方程为。例5、已知椭圆C1、C2离心率相等，且椭圆C1的长轴小于椭圆C2的长轴，设点P是椭圆C1上的任意一点，椭圆C1在点P处的切线交椭圆C2于的P、Q两点，求证：线段PQ被点A平分。例6、设P(x0,y0)是抛物线抛物线y2=2px(p>0)上一个定点，过Ｐ作两条倾斜角互补的直线分别交抛物线的另外一个点为Ａ、Ｂ，（1）求证：直线ＡＢ的斜率为定值。（2）设Ｐ关于ｘ轴的对称点Ｐ`，求证：抛物线在点Ｐ`处的切线与直线ＡＢ的交点Ｇ在ｘ轴上。（3）过（2）中的点Ｇ任意作一条抛物线的割线GEF,,设PP`交x轴于M点，求证直线ME、MF的倾斜角互补。例7、已知点A是椭圆的左顶点，过A作两条互相垂直的直线，分别交椭圆的另一个交点为B、C，求证：直线BC经过一定点，并求出定点的坐标。例8、已知Ａ是椭圆的右顶点，PQ是椭圆的焦点弦，AP、AQ与椭圆的相应的准线相交于B、C，求证：BF、CF分别平分∠PFA和∠QFA的外角。例9、设点P是抛物线y2=2px(p>0)上一个定点，过Ｐ做两条倾斜角互相垂直的直线分别交OxyBCFAPQxyOAPQxyGOBPA抛物线的另外一个点为Ａ、Ｂ，求证：直线AB经过一个定点，且此定点为抛物线在该点处的法线与直线AB的交点。