甘肃省武威市铁路中学高考数学专题训练 压轴大题突破练(三)理VIP免费

甘肃省武威市铁路中学高考数学专题训练压轴大题突破练(三)理(推荐时间：60分钟)1．已知函数f(x)＝x2－2alnx＋(a－2)x，a∈R.(1)当a＝1时，求函数f(x)图象在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当a<0时讨论函数f(x)的单调性；(3)是否存在实数a，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2有>a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．解f′(x)＝x－＋a－2＝(x>0)．(1)当a＝1时，f′(x)＝，f′(1)＝－2，∴所求的切线方程为y－f(1)＝－2(x－1)，即4x＋2y－3＝0.(2)①当－a＝2，即a＝－2时，f′(x)＝≥0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当－a<2，即－22时，f′(x)>0；－a2，即a<－2时，∵0－a时，f′(x)>0；2a知f(x2)－ax2>f(x1)－ax1成立，令g(x)＝f(x)－ax＝x2－2alnx－2x，则函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴g′(x)＝x－－2≥0，即2a≤x2－2x＝(x－1)2－1在(0，＋∞)上恒成立．∴a≤－，故存在这样的实数a满足题意，其范围为.2．已知圆C：(x＋)2＋y2＝16，点A(，0)，Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，设点M的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程；(2)过点P(1,0)的直线l交轨迹E于两个不同的点A、B，△AOB(O是坐标原点)的面积S∈，若弦AB的中点为R，求直线OR斜率的取值范围．解(1)由题意，得|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝4>2，所以点M的轨迹是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆，即轨迹的方程为＋y2＝1.1(2)记A(x1，y1)，B(x2，y2)，R(x0，y0)，由题意，直线l的斜率不可能为0，故可设直线l：x＝my＋1，由消去x，得(4＋m2)y2＋2my－3＝0.所以S＝|OP|·|y1－y2|＝＝，由S∈，解得10；当x∈(1,3)时，f′(x)<0.则f(x)的单调递增区间是(－1,1]和[3，＋∞)，单调递减区间是[1,3]．(3)由(2)知，f(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，且当x＝1或x＝3时，f′(x)＝0.所以f(x)的极大值为f(1)＝16ln2－9，极小值为f(3)＝32ln2－21.所以在f(x)的三个单调区间(－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)上，当且仅当f(3)b>0)，∵2p＝4，∴p＝2，抛物线的焦点为F(1,0)，∴椭圆的一个焦点为F(1,0)，∴c＝1.又∵＝，∴a＝，∴b2＝a2－c2＝1，故所求椭圆的方程为＋y2＝1.(2)由(1)知A(0,1)．当直线BC的斜率不存在时，设BC：x＝x0，设B(x0，y0)，则C(x0，－y0)，kAB·kAC＝·＝＝＝≠，不合题意．故直线BC的斜率存在，设直线BC的方程为y＝kx＋m，并代入椭圆方程，整理得：(1＋2k2)x2＋4kmx＋2(m2－1)＝0①由Δ＝(4km)2－8(1＋2k2)(m2－1)>0得2k2－m2＋1>0，②设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1，x2是方程①的两根，∴x1＋x2＝－，x1·x2＝，由kAB·kAC＝·＝得4y1y2－4(y1＋y2)＋4＝x1x2，即4(kx1＋m)(kx2＋m)－4(kx1＋m＋kx2＋m)＋4＝x1x2，亦即(4k2－1)x1x2＋4k(m－1)(x1＋x2)＋4(m－1)2＝0，－＋4(m－1)2＝0，整理得(m－1)(m－3)＝0，又∵m≠1，∴m＝3，此时直线的方程为y＝kx＋3，所以直线BC恒过一定点P(0,3)．3