课时作业8数列的性质与递推公式时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．已知数列{an}，a1＝1，an－an－1＝n－1(n≥2)，则a6等于(C)A．7B．11C．16D．17解析：由题可知a6＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＋(a6－a5)＝1＋1＋2＋3＋4＋5＝16.2．数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5等于(D)A．－3B．－11C．－5D．19解析：由an＋1＝an＋2－an，得an＋2＝an＋1＋an.又a1＝2，a2＝5.∴a3＝7，a4＝12，a5＝19.3．已知数列{an}，an－1＝man＋1(n>1)，且a2＝3，a3＝5，则实数m等于(B)A．0B.C．2D．5解析：由题意，得a2＝ma3＋1，即3＝5m＋1，解得m＝.4．已知数列{an}中，a1＝2，an＝－(n≥2)，则a2013等于(C)A．－B.C．2D．－2解析：∵an＋2＝－＝an，∴数列奇数项相同，偶数项相同．∴a2013＝a1＝2.5．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝(A)A．15B．12C．－12D．－15解析：记bn＝3n－2，则bn＋1－bn＝3(n＋1)－2－(3n－2)＝3，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝(－b1)＋b2＋…＋(－b9)＋b10＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋…＋(b10－b9)＝5×3＝15.故选A.6．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是(D)A．2n－1B.n－1C．n2D．n解析：法一：构造法．由已知整理，得(n＋1)an＝nan＋1，∴＝，∴数列是常数列，且＝＝1，∴an＝n.法二：累乘法．当n≥2时，＝，＝，…＝，＝，用累乘法，得＝n.∵a1＝1，∴an＝n.二、填空题7．在数列{an}中，an＋1＝(n∈N*)，且a7＝，则a5＝1.解析：由已知得a7＝＝，解得a6＝，而a6＝，所以＝，解得a5＝1.8．设函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2014＝1.x12345f(x)41352解析：x1＝f(x0)＝f(5)＝2，x2＝f(x1)＝f(2)＝1，x3＝f(x2)＝f(1)＝4，x4＝f(x3)＝f(4)＝5＝x0，从而数列{xn}是周期为4的数列，于是x2014＝x4×503＋2＝x2＝1.9．已知数列{an}，an＝，其中a，b，c均为正数，则此数列是递增数列．(填“递增数列”“递减数列”“摆动数列”或“常数列”)解析：因为an＝，所以an＋1＝，所以an＋1－an＝－＝.因为a，b，c均为正数，所以>0，即an＋1－an>0，故此数列是递增数列．三、解答题10．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式．(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；(2)a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．解：(1)a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9，a5＝16，∴an＝(n－1)2.(2)a1＝1，a2＝，a3＝＝，a4＝，a5＝＝，∴an＝.11．已知数列{an}中，a4＝，an＝(n≥2)．(1)证明：＝＋2(n≥2)，并求出a1的值；(2)求出数列{an}的通项an.解：(1)证明：∵an＝(n≥2)，∴＝，∴＝＋2(n≥2)，∴＝＋＋＋＝＋3×2＝8.∴＝2，∴a1＝.(2)由(1)知＝＋＋＋…＋，∴＝2＋∴＝2n，∴an＝，n∈N＋.——能力提升类——12．已知数列{an}中，an＝(n∈N*)，则数列{an}的最大项是(C)A．a12B．a13C．a12或a13D．不存在解析：an＝＝.由函数的单调性知，f(x)＝x＋(x>0)的单调减区间是(0,2)，单调增区间是[2，＋∞)，故当x＝2时，f(x)的值最小．∵n∈N*,2在自然数12和13之间，且a12＝a13，∴第12项或第13项是数列{an}的最大项．13．已知数列{an}，a1＝1，lnan＋1－lnan＝1，则数列{an}的通项公式是(C)A．an＝nB．an＝C．an＝en－1D．an＝解析：∵lnan＋1－lnan＝1，∴ln＝1.∴＝e.由累乘法可得an＝en－1.14．已知数列{an}满足：an≤an＋1，an＝n2＋λn，n∈N*，则实数λ的最小值是－3.解析：∵an≤an＋1，∴n2＋λn≤(n＋1)2＋λ(n＋1)，即λ≥－(2n＋1)对任意n∈N*成立，∴λ≥－3.15．已知数列{an}满足an＝＋＋＋…＋.(1)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？(2)证明：an≥对一切正整数恒成立．解：(1)数列{an}是递增数列．理由如下：∵an＝＋＋＋…＋，∴an＋1－an＝＋－＝－＝.又n∈N*，∴an＋1－an>0.∴数列{an}是递增数列．(2)证明：由(1)知数列{an}为递增数列，∴数列{an}的最小项为a1＝.∴an≥a1＝，即an≥对一切正整数恒成立．
