第2节直接证明与间接证明（答题时间：60分钟）一、选择题1.命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝（cos2θ－sin2θ）（cos2θ＋sin2θ）＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了（）A.分析法B.综合法C.综合法、分析法综合使用D.间接证明法2.已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝（n＝1，2，…），试证：“数列{xn}对任意的正整数n，都满足xn>xn＋1，”当此题用反证法否定结论时应为（）A.对任意的正整数n，有xn＝xn＋1B.存在正整数n，使xn≤xn＋1C.存在正整数n，使xn≥xn－1，且xn≥xn＋1D.存在正整数n，使（xn－xn－1）（xn－xn＋1）≥03.要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明（）A.2ab－1－a2b2≤0B.a2＋b2－1－≤0C.－1－a2b2≤0D.（a2－1）（b2－1）≥04.已知a、b是非零实数，且a>b，则下列不等式中成立的是（）A.<1B.a2>b2C.|a＋b|>|a－b|D.>5.已知函数f（x）＝x，a，b∈（0，＋∞），A＝，B＝f（），C＝，则A、B、C的大小关系为（）A.A≤B≤CB.A≤C≤BC.B≤C≤AD.C≤B≤A6.设0a＋b，则a、b应满足的条件是________。三、解答题11.已知a，b，c是不等正数，且abc＝1。求证：＋＋<＋＋。12.已知：a>0，b>0，a＋b＝1。求证：＋≤2。1.解析：因为证明过程是“从左往右”，即由条件结论。⇒故选B。答案：B2.解析：根据全称命题的否定，是特称命题，即“数列{xn}对任意的正整数n，都满足xn>xn＋1”的否定为“存在正整数n，使xn≤xn＋1”，故选B。答案：B3.解析：因为a2＋b2－1－a2b2≤0⇔（a2－1）（b2－1）≥0，故选D。答案：D4.解析：<1<0⇔⇔a（a－b）>0。∵a>b，∴a－b>0。而a可能大于0，也可能小于0，因此a（a－b）>0不一定成立，即A不一定成立；a2>b2⇔（a－b）（a＋b）>0，∵a－b>0，只有当a＋b>0时，a2>b2才成立，故B不一定成立；|a＋b|>|a－b|⇔（a＋b）2>（a－b）2⇔ab>0，而ab<0也有可能，故C不一定成立；由于>>0⇔⇔（a－b）·a2b2>0。∵a，b非零，a>b，∴上式一定成立，因此只有D正确。故选D。答案：D5.解析：因为当a，b∈（0，＋∞）时，≥≥，且函数f（x）＝x，在R上为减函数，所以A≤B≤C，故选A。答案：A6.解析：由题目易得1＋x>2>。∵（1＋x）（1－x）＝1－x2<1，又00。∴1＋x<。答案：C7.解析：本题为全称命题，其否定为特称命题。答案：存在一个三角形，它的外角至多有一个钝角8.解析：y2＝（）2＝a＋b＝>＝x2。答案：xa＋b⇔（－）2·（＋）>0⇔a≥0，b≥0且a≠b。答案：a≥0，b≥0且a≠b11.证明：∵a，b，c是不等正数，且abc＝1，∴＋＋＝＋＋<＋＋＝＋＋。12.证明：要证＋≤2。只要证：a＋＋b＋＋2≤4，∵由已知知a＋b＝1，故只要证：≤1，只要证：（a＋）（b＋）≤1，只要证：ab≤，∵a>0，b>0，1＝a＋b≥2，∴ab≤，故原不等式成立。
