2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义课时过关·能力提升1.已知a·b=-12,|a|=4,a和b的夹角为135°,则|b|=()A.12B.3C.6D.3解析:由已知得-12=4×|b|×cos135°,因此|b|=6.答案:C2.等边三角形ABC的边长为1,设=c,=a,=b,则a·b+b·c+c·a的值是()A.B.C.-D.-解析:由已知可得a·b=b·c=c·a=1×1×cos120°=-,所以a·b+b·c+c·a=-.答案:C3.对任意向量a和b,|a||b|与a·b的大小关系是()A.|a||b|≤a·bB.|a||b|>a·bC.|a||b|≥a·bD.|a||b|
,而cos≤1,所以|a||b|≥a·b.答案:C4.已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则a在b方向上的投影是()A.-4B.4C.-2D.2解析:a在b方向上的投影是|a|cosθ==-4.答案:A5.已知下列结论:①a·0=0;②0a=0;③0-;④|a·b|=|a||b|;⑤若a≠0,则对任一非零向量b有a·b≠0;⑥若a·b=0,则a与b中至少有一个为0;⑦若a与b是两个单位向量,则a2=b2.则以上结论正确的是()A.①②③⑥⑦B.③④⑦C.②③④⑤D.③⑦答案:D6.已知=90°,c=3a,则b·c=.解析:由于a与b垂直,而c与a共线,所以c与b垂直,从而b·c=0.答案:07.在等腰直角三角形ABC中,AC是斜边,且,则该三角形的面积等于.解析:设Rt△ABC的直角边长为a,则斜边长为a,于是=a·a·=a2=,从而a=,于是S△ABC=.答案:8.若四边形ABCD满足=0,且=0,试判断四边形ABCD的形状.解:∵=0,∴,即AB∥DC,且AB=DC,∴四边形ABCD为平行四边形.又=0,∴,即AB⊥BC.∴四边形ABCD为矩形.★9.已知在△ABC中,=c,=a,=b,若|c|=m,|b|=n,=θ.(1)试用m,n,θ表示S△ABC;(2)若c·b<0,且S△ABC=,|c|=3,|b|=5,则为多少?解:(1)S△ABC=AB·h=AB·AC·sin∠CAB=mnsinθ.(2)∵S△ABC=|b||c|sinθ,∴×5×3sinθ.∴sinθ=.∵c·b<0,∴θ为钝角.∴θ=150°,即=150°.
