2.3.2平面向量基本定理5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底②一个平面内有无数多对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量，其中正确的说法是（）A.①②B.②③C.①③D.①②③解析：根据平面向量基本定理可以进行判断.平面内向量的基底不唯一,在同一平面内任何一组不共线的向量都可以作为平面内所有向量的基底;而零向量可看成与任何向量平行,故零向量不可作为基底中的向量.综上所述,②③正确.答案：B2.设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：①与；②与；③与；④与，其中可作为这个平行四边形所在平面内表示它的所有向量的基底的是（）A.①②B.①③C.①④D.③④解析：①AD与AB不共线,②DA=-BC,DA∥BC,DA与BC共线,③CA与DC不共线,④OD=-OB,OD∥OB,OD与OB共线.由平面向量基底的概念知①③可构成平面内所有向量的基底.答案：B3.想一想，e1、e2不共线，e1、e2中能否有零向量？a与e1、e2的关系可能有几种情况？解析：e1、e2不共线，则e1≠0且e2≠0.（1）a与e1共线，则有且只有一个λ1，使a=λ1e1；（2）a与e2共线，则有且只有一个λ2，使a=λ2e2；（3）a与e1、e2都共线，则a=0；（4）a与e1、e2都不共线，a能用e1、e2表示，解法如下：与共线，则有且只有一个λ1，使=λ1e1.与共线，则有且只有一个λ2，使=λ2e2，则a=+=λ1e1+λ2e2.4.如图2-3-3，已知△OAB，其中=a，=b，M、N分别是边、上的点，且=a，=b.设与相交于P，用向量a、b表示.图2-3-3解：=+,=+.设=m，=n，则=+m=a+m(b-a)=(1-m)a+mb,=+n=b+n(a-b)=(1-n)b+na. a、b不共线，∴∴=a+b.10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.向量、、的终点A、B、C在一条直线上，且=-3.设=p,=q,=r，则下列等式成立的是()A.r=B.r=-p+2qC.r=D.r=-q+2p解析：由=-3,得-=-3（-），即2=-+3，∴=+，即r=.答案：A2.设一直线上三点A、B、P满足=λ(λ≠1),O是空间一点，则用、表示为()A.=+λB.=λ+(1-λ)C.=D.解析：由=λ（λ≠1）得-=λ（-），即=.答案：C3.如图2-3-4，四边形ABCD为矩形，且AD=2AB,又△ADE为等腰直角三角形，F为ED中点，=e1，=e2.以e1、e2为基底，表示向量、、及.图2-3-4解： =e1，=e2，∴=e2-e1.依题意有AD=2AB=DE，且F为ED中点，∴四边形ABDF为平行四边形.∴==e2-e1，==e2.∴=+=e2-e1+e2=2e2-e1.4.如图2-3-5，在平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知=c，=d，试用c、d表示和.图2-3-5解：设=a，=b，则由M、N分别为DC、BC的中点可得=，=.从△ABN和△ADM中可得a+b=d，b+a=c.解得a=(2d-c),b=(2c-d),即=(2d-c),=(2c-d).5.证明三角形的三条中线交于一点.证明：如图，令=a,=b为基底.=b-a,=a+b,=b-a.设AD与BE交于点G1，并设=λ,=μ，则有=-==,=-=,∴解得λ=μ=,∴=.设AD与CF交于点G2，同理,可得=.∴G1与G2重合，也就是说AD、BE、CF相交于同一点.∴三角形的三条中线交于一点.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.e1和e2表示平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作一组基底的是()A.e1+e2和e1-e2B.3e1-2e2和4e2-6e1C.e1+3e2和e2+3e1D.e2和e1+e2解析： 3e1-2e2=（4e2-6e1），∴3e1-2e2与4e2-6e1共线.答案：B2.下面关于单位向量的叙述正确的是()A.若e是向量的单位向量，则e与同向或反向B.若e1与e2是两向量的单位向量，则e1与e2可作为平面的一组基底C.0的单位向量是0D.向量的单位向量e=解析：单位向量是指与a同向且大小为一个单位的向量，故A不正确.若e1、e2是两个单位向量，则可能反向，故B不正确.易知选D.答案：D3.已知=3（e1+e2），=e2-e1，=2e1+e2，则()A.A、B、C三点共线B.A、B、D三点共线C.A、C、D三点共线D.B、C、D三点共线解析：=+=-=4e1+2e2=2（2e1+e2）=2.答案：C4.在△ABC中，设=m，=n，D、E是边BC上的三等分点，则=_______________,=_______________.解析：由D、E是边BC上的三等分点，可得=,=，转化为已知向量即可.答案：5.设e1、e2是两个不共线向量，若向量b=e1+λe2（λ∈R）与向量a=2e1-e2共线，则λ=___________.解析：由共线向量定理，设b=λa，即e1+λe2=2μe1-μe2.所以解得...
