课时作业16向量减法运算及其几何意义——基础巩固类——一、选择题1．设b是a的相反向量，则下列说法一定错误的是(C)A．a与b的长度相等B．a∥bC．a与b一定不相等D．a是b的相反向量解析：当a，b为零向量时，也互为相反向量，故选C.2．下列不能化简为PQ的是(D)A.AB＋(PA＋BQ)B．(AB＋PC)＋(BA－QC)C.QC＋CQ－QPD.PA＋AB－BQ解析：AB＋(PA＋BQ)＝(AB＋BQ)－AP＝PQ；(AB＋PC)＋(BA－QC)＝(AB－AB)＋(PC＋CQ)＝PQ；QC＋CQ－QP＝－QP＝PQ；PA＋AB－BQ＝PB－BQ≠PQ.故选D.3．如图，在四边形ABCD中，设AB＝a，AD＝b，BC＝c，则DC等于(A)A．a－b＋cB．b－(a＋c)C．a＋b＋cD．b－a＋c解析：DC＝AC－AD＝AB＋BC－AD＝a＋c－b＝a－b＋c.4．设a表示向西走10km，b表示向北走10km，则a－b表示(A)A．南偏西30°方向走20kmB．北偏西30°方向走20kmC．南偏东30°方向走20kmD．北偏东30°方向走20km解析：设OA＝a，OB＝b，则a－b＝OA－OB＝BA，又tan∠OBA＝＝＝，∴∠OBA＝30°，且|BA|＝＝＝20(km)，应选A.5．若M是△ABC的重心，则下列各向量中与AB共线的是(C)A.AB＋BC＋ACB.AM＋MB＋BCC.AM＋BM＋CMD．3AM＋AC解析：∵M是△ABC的重心，∴MA＋MB＋MC＝0，∴AM＋BM＋CM＝0，与AB共线．6．已知平面内M，N，P三点满足MN－PN＋PM＝0，则下列说法正确的是(C)A．M，N，P是一个三角形的三个顶点B．M，N，P是一条直线上的三个点C．M，N，P是平面内的任意三个点D．以上都不对解析：因为MN－PN＋PM＝MN＋NP＋PM＝MP＋PM＝0，MN＋NP＋PM＝0对任意情况是恒成立的．故M，N，P是平面内的任意三个点，故选C.二、填空题7．已知A，B，C，D为平面上的四个点，则AB－CB＋CD＋DA＝0.解析：AB－CB＋CD＋DA＝(DA＋AB)－(CB－CD)＝DB－DB＝0.8．已知向量a，b满足|a|＝6，|b|＝8，|a－b|＝10，则|a＋b|＝10.解析：因为|a|＝6，|b|＝8，|a－b|＝10，所以|a|2＋|b|2＝|a－b|2，如图，a，b，a－b构成直角三角形．所以|a＋b|＝|a－b|＝10.9．已知a、b为非零向量，则下列命题中真命题是①②④.①若|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b方向相同；②若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反；③若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b有相等的模；④若||a|－|b||＝|a－b|，则a与b方向相同．解析：当a、b方向相同时有|a|＋|b|＝|a＋b|，||a|－|b||＝|a－b|，当a、b方向相反时有||a|－|b||＝|a＋b|，|a|＋|b|＝|a－b|.因此①②④为真命题．三、解答题10．如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，AB＝a，BC＝b，AC＝c，试作出下列向量并分别求出其长度．(1)a＋b＋c；(2)a－b＋c.解：(1)如图，由已知得a＋b＝AB＋BC＝AC，又AC＝c，所以延长AC到E，使|CE|＝|AC|，则a＋b＋c＝AE，且|AE|＝2.所以|a＋b＋c|＝2.(2)作BF＝AC，连接CF，则DB＋BF＝DF，而DB＝AB－AD＝a－BC＝a－b，所以a－b＋c＝DB＋BF＝DF且|DF|＝2.所以|a－b＋c|＝2.11．已知△OAB中，OA＝a，OB＝b，满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|与△OAB的面积．解：如图，由已知得|OA|＝|OB|，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则可知其为菱形，且OC＝a＋b，BA＝a－b，由于|a|＝|b|＝|a－b|，则OA＝OB＝BA，所以△OAB为正三角形，所以|a＋b|＝|OC|＝2×＝2，S△OAB＝×2×＝.——能力提升类——12．如图，已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则(B)A．a＋b＋c＋d＝0B．a－b＋c－d＝0C．a＋b－c＋d＝0D．a－b－c＋d＝0解析：由题意得，BA＋DC＝0，∴OA－OB＋OC－OD＝0，即a－b＋c－d＝0，故选B.13．已知△ABC为等腰直角三角形，且∠A＝90°，给出下列结论：(1)|AB－AC|＝|AB＋AC|；(2)|BC－BA|＝|CB－CA|；(3)|AB－CB|＝|AC－BC|；(4)|AB－AC|2＝|BC－AC|2＋|CB－AB|2.其中正确的个数为(D)A．1B．2C．3D．4解析：如图，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，则它是正方形，根据向量加减法的几何意义可知题中四个结论都正确．14．在边长为1的正三角形ABC中，|AB－BC|的值为.解析：如图，设D是AC的中点，则|AB－BC|＝|BA＋BC|＝2|BD|＝.15．三个大小相同的力a，b，c作用在同一物体P上，使物体P沿a方向做匀速运动，设PA＝a，PB＝b，PC＝c，判断△ABC的形状．解：由题意得|a|＝|b|＝|c|，由于合力作用后做匀速运动，故合力为0，即a＋b＋c＝0.所以a＋c＝－b.如图，作平行四边形APCD，则平行四边形APCD是菱形．PD＝a＋c＝－b，所以∠APC＝120°，同理∠APB＝∠BPC＝120°，又因为|a|＝|b|＝|c|，所以△ABC为等边三角形．
