2.2.3向量数乘运算及其几何意义课后集训基础达标1.四边形ABCD中，=，则四边形ABCD是（）A.平行四边形B.梯形C.菱形D.矩形解析：由=得∥且||=||，所以||≠||,所以ABCD是梯形.答案：B2.4（a-b）-3（a+b）-b等于（）A.a-2bB.aC.a-6bD.a-8b解析：4（a-b）-3（a+b）-b=4a-4b-3a-3b-b=a-8b.∴选D.答案：D3.已知=a，=b，C为上距A较近的一个三等分点，D为上距C较近的一个三等分点，则用a，b表示的表达式为()A.B.C.D.解析：如右图所示，=-=b-a.∵BC=AB.CD=BC，∴=·()==9(b-a).∵==(b-a),∴=+=a++=a+(b-a)+(b-a)=.∴应选A.答案：A4.设e1、e2是两个不共线的向量，则向量a=2e1-e2与向量b=e1+λe2(λ∈R)共线，当且仅当λ的值为（）A.0B.-1C.-2D.-解析：向量a=2e1-e2与向量b=e1+λe2共线则存在唯一实数m.使得2e1-e2=m(e1+λe2),即2e1-e2=me1+λme2.∴解得：∴应选D.答案：D5.若O为ABCD的中心，=2e1,=3e2，则e2-e1等于（）A.B.C.D.解析：e2-e1=(3e2-2e1)=(-)=(-)==.答案：B6.下列四个命题中正确命题的个数是（）①对于实数m和向量a，b，恒有m(a-b)=ma-mb②对于实数m，n和向量a，恒有（m-n）a=ma-na③若ma=mb(m∈R),则有a=b④若ma=na,(m,n∈R,a≠0),则m=nA.1B.2C.3D.4解析：①m(a-b)=m［a+（-b）］=ma+m(-b)=ma-mb.∴①正确.②根据向量对实数的分配律知②显然正确.③若m≠0，则有a=b，若m=0,a与b不一定相等.∴③不正确.④若ma=na,则（m-n）a=0,∵a≠0,∴m-n=0∴m=n.∴④正确.∴应选C.答案：C综合运用7.点C在线段AB上，且=，则=______________（）A.B.C.-D.-解析：由=得与同向且||=||，所以||=(||+||),所以||=|,|又因为与反向,∴=-.答案：D8.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,其中a、b不共线，则四边形ABCD为（）A.梯形B.平行四边形C.菱形D.矩形解析：=++=-8a-2b=2（-4a-b）=2,所以∥且||≠||,所以四边形ABCD是梯形.答案：A9.如下图，在梯形ABCD中，=a，=b，=c,=d,E、F分别为AB、CD的中点，则下列表达中成立的是（）A.=（a+b+c+d）B.=（c+d-a-b）C.=（a+b-c-d）D.=（a-b+c-d）解析：∵E、F分别是AB、CD的中点，∴EF=（AD+BC），=（+）.∵=d-a,=c-b，∴=（d-a+c-b）.∴应选B.答案：B拓展探究10.（1）如右图，在△ABC中，D为BC边上的中点.求证：=（+）.（2）G为△ABC重心，O为平面内不同于G的任意一点，则=（++）.（1）证法1：=+，=+，又D为中点∴+=0.∴2=+,即=(+).证法2：延长AD至E，使DE=AD，又BD=DC，∴四边形ABCD为平行四边形.∴=+.又=+，=，∴=（+）.（2）证明：∵=+，=+，=+.又∵G为△ABC重心，∴++=0.∴++=++，即=（++）.备选习题11.已知向量a与b反向，且|a|=r,|b|=R,b=λa,则λ值等于（）A.B.-C.-D.解析：∵向量a与向量b反向，∴b=λa中的λ＜0.∴λ＜=-.∴应选C.答案：C12.若|a-b|=|a|+|b|（b≠0）成立，则a、b应满足的条件是（）A.b=λa且λ∈(0,+∞)B.a=λb且λ∈［0,+∞)C.b=λa且λ∈(-∞,0)D.a=λb且λ∈(-∞,0］解析：由于|a-b|=|a|+|b|（b≠0）所以a与b共线且反向或a=0由两向量共线的条件得a=λb,当a≠0时，λ＜0,当a=0时，λ=0,∴λ∈(-∞,0］.∴应选D.答案：D13.如右图=，=，求证：=.证明：∵=-=-=（-）=，∴=.14.设e1、e2是两个不共线向量，已知=2e1+me2,=e1+3e2.若A、B、C三点共线，求实数m的值.解：∵A、B、C三点共线，∴、共线存在实数λ，使=λ,即2e1+me2=λ(e1+3e2)=λe1+3λe2,解得∴λ=2,m=6.15.已知ABCD中的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，F为CD的中点，设=a，=b.试用a、b表示、.解：如下图所示，∵E是AD的中点，O是AC的中点，∴OE=CD.∴=2.∵F是CD的中点，∴==a，同理===b.∴=+=-=b-a.∵=-,=+=a+=a+b,∴=-(a+b).16.设O为△ABC内任一点，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点.求证：++=++.证明：如下图所示，∵=+，=+，=+，∴++=+++++.∵D、E、F分别为所在边中点.∴=,=,=.∴++=(++)=0.即有++=++.
