2.2.2-2.2.3向量数乘运算及其几何意义[课时作业][A组基础巩固]1．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A.EF＝OF＋OEB.EF＝OF－OEC.EF＝－OF＋OED.EF＝－OF－OE解析：∵O，E，F是不共线的任意三点，∴OE＋EF＝OF，由此可以推出EF＝OF－OE.答案：B2．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是()A.AB＝DCB.AD＋AB＝ACC.AB－AD＝BDD.AD＋CB＝0解析：AB－AD＝DB，故C项错．答案：C3．已知向量a，b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A、B、DB．A、B、CC．B、C、DD．A、C、D解析：BD＝BC＋CD＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2AB，∴BD与AB共线，∴A、B、D三点共线．答案：A4．点P满足向量OP＝2OA－OB，则点P与AB的位置关系是()A．点P在线段AB上B．点P在线段AB延长线上C．点P在线段AB反向延长线上D．点P在直线AB外解析：∵OP＝2OA－OB，∴OP－OA＝OA－OB，∴AP＝BA，∴点P在线段AB反向延长线上，故应选C.答案：C5．已知点C在线段AB上，且AC＝AB，则AC等于()A.BCB.BCC．－BCD．－BC解析：AC＝AB⇒AB＝AC.∴AB＝AC＝AC－BC，∴AC＝－BC.答案：D6．已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC＋CB＝0，则OC可用OA、OB表示为________．解析：OC＝OB＋BC＝OB＋2AC＝OB＋2(OC－OA)，∴OC＝2OA－OB.答案：2OA－OB7．已知点M是△ABC的重心，若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m＝________.解析：如图，AD＝AM，而AB＋AC＝2AD，故AB＋AC＝2×AM＝3AM，∴m＝3.答案：38．若2－(b＋c－3x)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量x＝________.解析：由2－(b＋c－3x)＋b＝0，得x－a＋b－c＝0，∴x＝a－b＋c.答案：a－b＋c9．在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，求MN(用a，b表示)．解析：如图所示▱ABCD中，连接AC交BD于O点，则O平分AC和BD.∵AN＝3NC，∴NC＝AC，∴N为OC的中点，又M为BC的中点，∴MN＝BO，∴MN＝BO＝BD＝(b－a)．10．设a，b是两个不共线的非零向量，记OA＝a，OB＝tb(t∈R)，OC＝(a＋b)，那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？解析：∵OA＝a，OB＝tb，OC＝(a＋b)，∴AB＝OB－OA＝tb－a，AC＝OC－OA＝(a＋b)－a＝b－a，∵A、B、C三点共线，∴存在实数λ，使AB＝λAC，即tb－a＝λ(b－a)．由于a，b不共线，∴解得故当t＝时，A、B、C三点共线．[B组能力提升]1．给出下列各式：①AB＋CA＋BC；②AB－CD＋BD－AC；③AD－OD＋OA；④NQ－MP＋QP＋MN.对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是()A．4B．3C．2D．1解析：①AB＋CA＋BC＝AC＋CA＝0；②AB－CD＋BD－AC＝AB＋BD－(AC＋CD)＝AD－AD＝0；③AD－OD＋OA＝AD＋DO＋OA＝AO＋OA＝0；④NQ－MP＋QP＋MN＝NQ＋QP＋MN－MP＝NP＋PN＝0.答案：A2．对于△ABC内部一点O，存在实数λ，使得OA＋OB＝λ(OA＋OC)成立，则△OBC与△ABC的面积之比是()A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．1∶6解析：如图，设D，E分别是AB，AC的中点，以OA，OB为邻边作▱OAGB，以OA，OC为邻边作▱OAFC，则OA＋OB＝OG＝2OD，OA＋OC＝OF＝2OE，因为OA＋OB＝λ(OA＋OC)，所以OD＝λOE，所以点D，O，E三点共线，所以点O在直线DE上，又因为D，E分别为AB，AC的中点，所以△OBC与△ABC的面积之比为1∶2.答案：A3．如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，OA＝a，OB＝b，OC＝c，则OD＝________.解析：因为BA＝CD，BA＝OA－OB，CD＝OD－OC，所以OD－OC＝OA－OB，OD＝OA－OB＋OC.所以OD＝a－b＋c.答案：a－b＋c4．如图所示，O是平面内一定点，A、B、C是平面内不共线的三点，动点P满足OP＝OA＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________心．解析：设＝AD，＝AE，则AD与AE分别为单位向量，以它们为邻边作▱ADFE，则它为菱形，∴AF在∠BAC的平分线上，∴AP＝OP－OA＝λ(＋)＝λAF.∴AP与AF共线．∴点P的轨迹一定过△ABC的内心．答案：内5．已知平行四边形ABCD的边BC，CD的中点分别是M，N，设AM＝a，AN＝b，试用a，b表示AB，BC.解析：在平行四边形ABCD中，M，N分别是边BC，CD的中点，所以DN＝AB，BM＝BC.所以AN＝AD＋DN＝BC＋AB，AM＝AB＋BC，所以解得AB＝a－b，BC＝b－a.6．在△ABC中，点D和E分别在BC，AC上，且BD＝BC，CE＝CA，AD与BE交于R，证明：RD＝AD.证明：由A，D，R三点共线，可得CR＝λCD＋(1－λ)CA＝λCB＋(1－λ)CA.由B，E，R三点共线，可得CR＝μCB＋(1－μ)CE＝μCB＋(1－μ)CA.所以所以所以CR＝CB＋CA.所以AD＝CD－CA＝CB－CA，RD＝CD－CR＝CB－＝CB－CA＝＝AD.
