2.2.2向量减法运算及其几何意义课后集训基础达标1.化简下列各式，结果为零向量的个数是（）①++②-+-③-+④++-A.1B.2C.3D.4解析：①++=+=0②-+-=++=+=0.③-+=+=0④++-=+=0.∴应选D.答案：D2.如右下图在平行四边形ABCD中，若|+|=|-|，则必有（）A.=0B.=0或=0C.ABCD为矩形D.ABCD为正方形解析：由于+=，-=.由条件得：||=||.∵两条对角线相等的平行四边形是矩形.∴应选C.答案：C3.下列各式中，恒成立的是()A.=B.a-a=0C.-=D.++=0答案：D4.下列四个式子中，不能化简为的是（）A.（+）+B.(+)+(+)C.-+D.+-解析：A.（+）+=（+）+=+=.B.（+）+（+）=+++=++=.C.-+=+=.D.+-=2+.故应选D.答案：D5.已知向量是单位向量，点M是AB中点，点P为平面上任意一点，则-等于（）A.-B.-C.+D.解析：在△PMA中，=+，=+,∴-=（+）-（+）=-=-.故应选A.答案：A6.如右图，已知=a,=b,||=12,||=5,∠BAC=90°,则|a-b|=_____________,tan∠ACB=____________.解析：由于a-b=,∴|a-b|=||=13,tan∠ACB=.答案：13综合运用7.下列等式：①0-a=-a;②-(-a)=a;③a+(-a)=0;④a+0=a;⑤a-b=a+(-b);⑥a+(-a)=0.正确的个数是（）A.3B.4C.5D.6解析：⑥错误，应为0.答案：C8.对于任意向量a、b，恒有（）A.|a+b|=|a|+|b|B.|a-b|=|a|-|b|C.|a-b|≤|a|+|b|D.|a-b|≤|a|-|b|解析：由向量加减法的三角形法则可得.答案：C9.若O是△ABC内一点，++=0，则O是△ABC的（）A.内心B.外心C.垂心D.重心解析：如右图所示，由+=知四边形ADBO为平行四边形，故OE=ED.由已知++=0，故+=，即=，故C、O、E三点共线，且CO=2OE，即O分CE为2∶1.所以O为△ABC的重心.答案：D拓展探究10.证明：对于任意向量a，b都有||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|,并指出等号成立的条件.思路分析：这是一个涉及两个向量的重要不等式，证明的关键在于正确分类，逐一解决.证明:（1）当a,b共线时，①a,b(a,b非零)同向时，则|a-b|=||a|-|b||＜|a|+|b|;②只有当a，b中至少有一个零时，|a-b|=||a|-|b||=|a|+|b|;③当a，b（a,b非零）反向时，|a-b|=|a|+|b|＞||a|-|b||.（2）当a，b不共线时，如右上图，在△ABC中，=a,=b,则=-=a-b.根据三角形中任意两边之差总小于第三边，两边之和总大于第三边可得：||a|-|b||＜|a-b|＜|a|+|b|.综合（1）（2）可得：对任意向量a,b都有||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.只有当a,b同向或a,b中至少一个为0时，||a|-|b||≤|a-b|中的等号成立；只有当a，b反向或a,b中至少一个为0时，|a-b|≤|a|+|b|中的等号成立.备选习题11.设a,b都是非零向量，（1）若向量a与b反向，则a-b与a的方向_________，且|a-b|_________|a|+|b|;（2）若a与b同向，且|a|＞|b|则a-b与a的方向_________且|a-b|_________|a|-|b|.答案：(1)相同=（2）相同=12.（1）当非零向量满足______________条件时，能使a+b平分a与b的夹角；满足______________条件时，能使|a+b|=|a-b|.（2）已知||=|a|,||=b且|a|=|b|=8,∠AOB=60°,则|a+b|=，|a-b|=,a与a+b所在直线的夹角.解析：（1）作=a,=b,以、为邻边作平行四边形，则a+b=,只有当OACB为菱形时，a+b才平分a与b的夹角.只有当平行四边形为矩形时，才能使其两条对角线相等，即|a+b|=|a-b|.（2）作以、为邻边的平行四边形，则=+=a+b,∴|a+b|=2||=2×8×cos30°=；由减法法则知=a-b,∵|a|=|b|=8,∠AOB=60°.∴|a-b|=8，且a+b所在的直线平分a与b的夹角，∴a与a+b所在直线的夹角为30°.答案：（1）|a|=|b|a⊥b（2）830°13.如下图，已知a、b、c分别作出a+b,a+c,a-c,b-c.解：如右图，作=a,=b,=c分别以、为邻边作平行四边形OADB，则=a+b.再分别以、为邻边作平行四边形OAEC，则=a+c.连结AC，则=a-c.再连结，则=b-c.14.如下图，已知O为平行四边形ABCD内一点，OA=a，OB=b，OC=c，求.解：与a、b、c之间难以建立直接的关系，挖掘隐含条件=寻找、a与以及b、c与的关系可间接获解.∵+=,+==，∴+=+，∴=-++=-+=a-b+c.15.一条渔船距对岸4km，以2km/h的速度垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船实际航程为8km,则河水的流速为_________.解析：如右图设表示船垂直于对岸的速度，则由+=知就是渔船实际航行的速度，航行时间为4÷2=2h，在Rt△ABC中，||=2km/h,||=8÷2=4km/h，∴||=km/h.答案:km/h16.如右图所示，5N的重物在两根细绳的支持下处于平衡状态，如果两细绳与水平线的夹角分别是30°和60°，那么两细绳各受力的多少？解：将重力沿两根细绳方向分解，则依题意知，两根细绳的夹角为90°，∴||=||cos60°=5×=2.5(N),||=||cos30°=5×(N).∴两根细绳上承受的拉力大小分别是2.5N和N.
