2.1.4数乘向量课时过关·能力提升1.设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论正确的是()A.a与-λa的方向相反B.|-λa|≥|a|C.a与λ2a的方向相同D.|-λa|=|λ|a解析:由于λ≠0,所以λ2>0,因此a与λ2a方向相同.答案:C2.若=λ,则实数λ的值是()A.B.-C.D.-解析:如图所示,由于,所以,即=4=-,即λ=-.答案:D3.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2=0,则()A.B.=2C.=3D.2解析:由2=0,可知O是底边BC上的中线AD的中点,故.答案:A4.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,=a,=b,=c,=d,且E,F分别为AB,CD的中点,则()A.(a+b+c+d)B.(a-b+c-d)C.(c+d-a-b)D.(a+b-c-d)解析:如图,连接OF,OE,则)-)=(c+d)-(a+b).故(c+d-a-b).答案:C5.在四边形ABCD中,若,且||=||,则这个四边形是()A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形解析:由知DC∥AB,且|DC|=|AB|,因此四边形ABCD是梯形.又因为||=||,所以四边形ABCD是等腰梯形.答案:C6.已知四边形ABCD为菱形,点P在对角线AC上(不包括端点A,C),则等于()A.λ(),λ∈(0,1)B.λ(),λ∈C.λ(),λ∈(0,1)D.λ(),λ∈解析:由已知得,而点P在AC上,必有||<||,因此=λ(),且λ∈(0,1).答案:A★7.已知△ABC和点M满足=0.若存在实数m使得=m成立,则m等于()A.2B.3C.4D.5解析:如图,在△ABC中,设D是BC边的中点,由=0,易知M是△ABC的重心,∴=2.又∵,∴=2=3,∴m=3.故选B.答案:B8.已知O为▱ABCD的中心,=4e1,=6e2,则3e2-2e1=.答案:(答案不唯一)9.如图,已知,若用表示,则=.答案:-10.给出下面四个结论:①对于实数p和向量a,b,有p(a-b)=pa-pb;②对于实数p,q和向量a,有(p-q)a=pa-qa;③若pa=pb(p∈R),则a=b;④若pa=qa(p,q∈R,a≠0),则p=q.其中正确结论的序号为.解析:①②正确;③当p=0时不正确;④可化为(p-q)a=0,∵a≠0,∴p-q=0,即p=q,∴④正确.答案:①②④11.如图,L,M,N是△ABC三边的中点,O是△ABC所在平面内的任意一点,求证:.证明=()+()=()+)=()+0=.故原式成立.★12.已知在△ABC中,=a,=b.对于△ABC所在平面内的任意一点O,动点P满足+λa+λb,λ∈[0,+∞).试问动点P的轨迹是否过某一个定点?并说明理由.解:是.理由:如图,以为邻边作▱ABDC,设对角线AD,BC交于点E,则(a+b).由+λa+λb,得=2λ·(a+b)=2λ,λ∈[0,+∞).故共线.由λ∈[0,+∞)可知动点P的轨迹是射线AE,故动点P的轨迹必过△ABC的重心.
