【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第二章圆锥曲线与方程学业分层测评9双曲线及其标准方程新人教A版选修1-1(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．双曲线－＝1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到F1的距离是12，则P到F2的距离是()A．17B．7C．7或17D．2或22【解析】由双曲线方程－＝1得a＝5，∴||PF1|－|PF2||＝2×5＝10.又 |PF1|＝12，∴|PF2|＝2或22.故选D.【答案】D2．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为()A．x2－＝1B.－y2＝1C．y2－＝1D.－＝1【解析】由双曲线定义知，2a＝－＝5－3＝2，∴a＝1.又c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，因此所求双曲线的标准方程为x2－＝1.【答案】A3．设动点M到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)的距离的差等于6，则P点的轨迹方程是()A.－＝1B.－＝1C.－＝1(x＜0)D.－＝1(x＞0)【解析】由双曲线的定义得，P点的轨迹是双曲线的一支．由已知得∴a＝3，c＝5，b＝4.故P点的轨迹方程为－＝1(x＞0)，因此选D.【答案】D4．已知双曲线－＝1的焦点为F1，F2，点M在双曲线上，且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为()A.B.C.D.【解析】不妨设点F1(－3,0)，容易计算得出|MF1|＝＝，|MF2|－|MF1|＝2.解得|MF2|＝.1而|F1F2|＝6，在直角三角形MF1F2中，由|MF1|·|F1F2|＝|MF2|·d，求得F1到直线F2M的距离d为.故选C.【答案】C5．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是()A.B．1或－2C．1或D．1【解析】由于a＞0,0＜a2＜4，且4－a2＝a＋2，所以可解得a＝1，故选D.【答案】D二、填空题6．经过点P(－3,2)和Q(－6，－7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是________.【导学号：26160046】【解析】设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，则解得故双曲线的标准方程为－＝1.【答案】－＝17．已知方程＋＝1表示的曲线为C.给出以下四个判断：①当1＜t＜4时，曲线C表示椭圆；②当t＞4或t＜1时，曲线C表示双曲线；③若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜；④若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t＞4.其中判断正确的是________(只填正确命题的序号)．【解析】①错误，当t＝时，曲线C表示圆；②正确，若C为双曲线，则(4－t)(t－1)＜0，∴t＜1或t＞4；③正确，若C为焦点在x轴上的椭圆，则4－t＞t－1＞0.∴1＜t＜；④正确，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则，∴t＞4.【答案】②③④8．已知F是双曲线－＝1的左焦点，点A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．【解析】设右焦点为F′，依题意，|PF|＝|PF′|＋4，∴|PF|＋|PA|＝|PF′|＋4＋|PA|＝|PF′|＋|PA|＋4≥|AF′|＋4＝5＋4＝9.【答案】9三、解答题9．求以椭圆＋＝1短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程．【解】由＋＝1，得a＝4，b＝3，所以短轴两端点的坐标为(0，±3)，又双曲线过A点，由双曲线定义得2a＝|－|＝2，∴a＝，又c＝3，从而b2＝c2－a2＝4，又焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程为－＝1.10．已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2＋5y2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角2A，B，C满足关系式sinB－sinA＝sinC.(1)求线段AB的长度；(2)求顶点C的轨迹方程．【解】(1)将椭圆方程化为标准形式为＋y2＝1.∴a2＝5，b2＝1，c2＝a2－b2＝4，则A(－2,0)，B(2,0)，|AB|＝4.(2) sinB－sinA＝sinC，∴由正弦定理得|CA|－|CB|＝|AB|＝2<|AB|＝4，即动点C到两定点A，B的距离之差为定值．∴动点C的轨迹是双曲线的右支，并且c＝2，a＝1，∴所求的点C的轨迹方程为x2－＝1(x>1)．[能力提升]1．已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1||PF2|＝()A．2B．4C．6D．8【解析】由题意，得||PF1|－|PF2||＝2，|F1F2|＝2.因为∠F1PF2＝60°，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝|F1F2|2，所以(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|－2|PF1||PF2|×＝8，所以|PF1|·|PF2|＝8－22＝4.【答案】B2．(2016·临沂高二检测)已知双曲线的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且MF1·MF2＝0，|MF1|·|MF2|＝2，则该双曲线的方程是()A.－y2＝1B．x2－＝1C.－＝1D.－＝1【解析】由双曲线定义||MF1|－|MF2||＝2a，...
