2.2基本不等式课后篇巩固提升基础巩固1.已知正实数a、b满足a+b=ab,则ab的最小值为()A.1B.❑√2C.2D.4解析∵ab=a+b≥2❑√ab,(❑√ab)2≥2❑√ab,∴ab≥4,当且仅当a=b=2时取等号,故ab的最小值为4.答案D2.已知0
0.∴x(1-x)≤(x+1-x2)2=14,当且仅当x=1-x,即x=12时,等号成立.答案B3.已知a,b是不相等的正数,x=❑√a+❑√b❑√2,y=❑√a+b,则x,y的关系是()A.x>yB.x❑√2yD.y<❑√2x解析x2=a+b+2❑√ab2<2(a+b)2=a+b,y2=a+b,所以x20,y>0,∴x0,b>0)B.a+b2<2aba+b(a>0,b>0,a≠b)C.2aba+b≤❑√ab(a>0,b>0)D.2aba+b<❑√ab0,b>0,a≠b)解析由AC=a,BC=b,可得半圆O的半径DO=a+b2,易得DC=❑√AC·BC=❑√ab,DE=DC2DO=2aba+b,∵DE0,b>0,a≠b).故选D.答案D5.已知a>0,b>0,且a+2b=8,则ab的最大值等于.解析a>0,b>0且a+2b=8,则ab=12a·2b≤12a+2b22=12×16=8,当且仅当a=2b=4,取得等号,则ab的最大值为8.答案86.已知4x+ax(x>0,a>0)在x=3处取得最小值,则a=.解析由基本不等式,得4x+ax≥2❑√4x·ax=4❑√a,当且仅当4x=ax,即x=❑√a2时,等号成立,即❑√a2=3,a=36.答案367.已知t>0,则t2-3t+1t的最小值为.解析t2-3t+1t=t+1t-3≥2❑√t·1t-3=-1,当且仅当t=1时,取等号.答案-18.已知a>0,b>0,求证:a+b+1≥❑√ab+❑√a+❑√b.证明a+b≥2❑√ab,a+1≥2❑√a,b+1≥2❑√b,上面三式相加,得2(a+b+1)≥2❑√ab+2❑√a+2❑√b,所以a+b+1≥❑√ab+❑√a+❑√b.9.已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,求证:1a+1b+1c≥9.证明因为a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,所以1a+1b+1c=a+b+ca+a+b+cb+a+b+cc=3+ab+ba+ca+ac+cb+bc≥3+2+2+2=9,当且仅当a=b=c=13时取等号.能力提升1.(多选题)若正实数a,b满足a+b=1,则下列说法错误的是()A.ab有最小值14B.❑√a+❑√b有最小值❑√2C.1a+1b有最小值4D.a2+b2有最小值❑√22解析∵a>0,b>0,且a+b=1,∴1=a+b≥2❑√ab,∴ab≤14.∴ab有最大值14,∴选项A错误;(❑√a+❑√b)2=a+b+2❑√ab=1+2❑√ab≤1+2❑√14=2,∴❑√a+❑√b≤❑√2,即❑√a+❑√b有最大值❑√2,∴B项错误;1a+1b=a+bab=1ab≥4,∴1a+1b有最小值4,∴C正确;a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2×14=12,∴a2+b2的最小值是12,不是❑√22,∴D错误.答案ABD2.已知a>b>c,则❑√(a-b)(b-c)与a-c2的大小关系是.解析∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,∴a-c2=(a-b)+(b-c)2≥❑√(a-b)(b-c).当且仅当b=a+c2时取等号.答案❑√(a-b)(b-c)≤a-c23.直角三角形的周长等于2,则这个直角三角形面积的最大值为.解析设直角三角形的两直角边长为a、b,斜边长为c,面积为S,周长L=2,由于a+b+❑√a2+b2=L≥2❑√ab+❑√2ab(当且仅当a=b时取等号),∴❑√ab≤L2+❑√2.∴S=12ab≤12L2+❑√22=12·(2-❑√2)L22=3-2❑√24L2=3-2❑√2.答案3-2❑√24.已知a,b,c为不全相等的正实数,且abc=1.求证:a+b+c<1a2+1b2+1c2.证明因为a,b,c都是正实数,且abc=1,所以1a2+1b2≥2ab=2c,1b2+1c2≥2bc=2a,1a2+1c2≥2ac=2b,以上三个不等式相加,得:21a2+1b2+1c2≥2(a+b+c),即1a2+1b2+1c2≥a+b+c,因为a,b,c不全相等,所以上述三个不等式中的“=”不都同时成立,所以a+b+c<1a2+1b2+1c2.
