课时分层作业(三)正弦定理与余弦定理的应用数学探究活动：得到不可达两点之间的距离(建议用时：40分钟)一、选择题1．海上有A，B两个小岛相距10nmile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C之间的距离为()A．2nmileB．3nmileC．5nmileD．6nmileC[在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝75°，∴∠C＝45°. ＝，∴BC＝＝＝5(nmile)．]2．某人向正东方向走xkm后向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好是km，那么x的值是()A.B．2C．2或D．3C[如图所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝，∠B＝30°.由余弦定理，得()2＝x2＋32－2×3×x×，所以x2－3x＋6＝0，解得x＝或x＝2.]3．一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这艘船的航行速度是()A．5海里/时B．5海里/时C．10海里/时D．10海里/时D[如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10海里，在直角三角形ABC中，可得AB＝5海里，于是这艘船的航行速度是10海里/时．]4．有一条与两岸平行的河流，水速为1m/s，小船的速度为m/s，为使所走路程最短，小船应朝什么方向行驶()A．与水速成45°B．与水速成135°C．垂直于对岸D．不能确定B[如图所示，AB是水速，AD为船速，AC是船的实际速度，且AC⊥AB，在Rt△ABC中，cos∠ABC＝＝＝.∴∠ABC＝45°，∴∠DAB＝180°－45°＝135°.则小船的方向应与水速成135°行驶．]5．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600m后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200m以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为()A．200mB．300mC．400mD．100mB[如图，△BED，△BDC为等腰三角形，BD＝ED＝600(m)，BC＝DC＝200(m)．在△BCD中，由余弦定理可得cos2θ＝＝， 0°＜2θ＜90°，∴2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·sin4θ＝200×＝300(m)，故选B.]二、填空题6．如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60m，则树的高度为________．(30＋30)m[由正弦定理得＝，∴PB＝，∴树的高度h＝PBsin45°＝(30＋30)(m)．]7．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C.测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为________m.50[由题意知∠ABC＝30°，由正弦定理，得＝，∴AB＝＝＝50(m)．]8．如图，某交警队为了了解山底一段水平公路上行驶车辆的车速情况，现派交警进行测量．交警小明在山顶A处观测到一辆汽车在这段水平公路上沿直线匀速行驶，交警小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°，若山高AD＝100m，汽车从B点到C点历时14s，则这辆汽车的速度为________m/s.[分析知∠ABD＝30°，∠ACD＝45°，∴在△ABD和△ACD中，AB＝200m，AC＝100m，∴在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB×ACcos∠BAC＝100000，即BC＝100m，∴这辆汽车的速度为＝＝(m/s)．]三、解答题9．如图，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进km到达D处，看到A在他的北偏东45°方向，B在北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离．[解]由题意可知CD＝，∠BDC＝180°－75°－75°＝30°，∠CBD＝180°－30°－30°＝120°，∠DAC＝45°.在△BDC中，由正弦定理可得，BC＝＝＝.在△ADC中，由正弦定理可得，AC＝＝＝3.在△ABC中，由余弦定理可得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝(3)2＋()2－2×3××cos45°＝25，∴AB＝5.故这两座建筑物之间的距离为5km.10．如图所示，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(－1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2nmile的C处的缉私船奉命以10nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？[解]设缉私船用th在D处追上走私船，则有CD＝10t，BD＝10t，在△ABC中...
