高中数学 第九章 解三角形 9.1.1 正弦定理课时分层作业（含解析）新人教B版必修第四册-新人教B版高一第四册数学试题VIP免费

课时分层作业(一)正弦定理(建议用时：40分钟)一、选择题1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sinA∶sinB的值是()A.B．C.D．A[在△ABC中，由正弦定理知＝，又a＝5，b＝3，所以＝＝.]2．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB等于()A．－B．C．－D．D[由正弦定理得＝，∴sinB＝＝＝. a>b，A＝60°，∴B为锐角．∴cosB＝＝＝.]3．在△ABC中，a＝5，c＝10，A＝30°，则B＝()A．105°B．15°C．105°或15°D．45°或135°C[由a＜c，得A＜C，又由sinC＝＝，得C＝45°或135°，所以B＝105°或15°.]4．在△ABC中，a＝bsinA，则△ABC一定是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形B[由题意有＝b＝，则sinB＝1，即B为直角，故△ABC是直角三角形．]5．在△ABC中，已知(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于()A．3∶5∶7B．7∶5∶3C．6∶5∶4D．4∶5∶6A[因为(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝4∶5∶6，不妨设且k≠0，则a＝k，b＝k，c＝k，所以a∶b∶c＝3∶5∶7，即sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7.]二、填空题6．在△ABC中，AB＝，A＝45°，B＝60°，则BC＝_____.3－[利用正弦定理＝，而C＝180°－(A＋B)＝75°，故BC＝＝＝3－.]7．在△ABC中，若(sinA＋sinB)(sinA－sinB)＝sin2C，则△ABC的形状是________．直角三角形[由已知得sin2A－sin2B＝sin2C，根据正弦定理知sinA＝，sinB＝，sinC＝，所以－＝，即a2－b2＝c2，故b2＋c2＝a2.所以△ABC是直角三角形．]8．在△ABC中，bc＝20，S△ABC＝5，△ABC外接圆的半径为，则a＝________.3[ S△ABC＝bcsinA＝×20×sinA＝5，∴sinA＝. △ABC外接圆的半径R为，由正弦定理的推广可得＝2R，∴a＝2sinA＝2×＝3.]三、解答题9．在△ABC中，acos＝bcos，判断△ABC的形状．[解]法一： acos＝bcos，∴asinA＝bsinB.由正弦定理，得a·＝b·，∴a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形．法二： acos＝bcos，∴asinA＝bsinB.由正弦定理，得2Rsin2A＝2Rsin2B，即sinA＝sinB，∴A＝B(A＋B＝π不合题意，舍去)．故△ABC为等腰三角形．10．已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．(1)a＝10，b＝20，A＝80°；(2)a＝2，b＝6，A＝30°.[解](1)a＝10，b＝20，a＜b，A＝80°＜90°，由＝得，sinB＝＝2sin80°＞2sin30°＝1，∴本题无解．(2)a＝2，b＝6，a＜b，A＝30°＜90°， bsinA＝6sin30°＝3，a＞bsinA，∴bsinA＜a＜b，∴本题有两解．由正弦定理得sinB＝＝＝，又 B∈(0°，180°)，∴B＝60°或B＝120°.当B＝60°时，C＝90°，c＝＝＝4；当B＝120°时，C＝30°，c＝＝＝2.∴当B＝60°时，C＝90°，c＝4；当B＝120°时，C＝30°，c＝2.11．(多选题)已知两边和其中一边的对角，则△ABC无解的是()A．a＝7，b＝8，A＝105°B．b＝40，c＝20，C＝60°C．b＝10，c＝5，C＝60°D．a＝2，b＝6，A＝30°AB[A中，由a＜b，A＝105°，可得B＞105°，与三角形的内角和为180°矛盾，故三角形无解；B中，由正弦定理＝，得sinB＝＝＝＞1，所以B不存在，故三角形无解；C中，由正弦定理＝，得sinB＝＝＝，又b＜c，所以B＝45°，所以A＝180°－(B＋C)＝75°，故三角形有唯一解；D中，由正弦定理＝，得sinB＝＝＝，所以B＝60°或B＝120°，故三角形有两解．故选AB.]12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(，－1)，n＝(cosA，sinA)，若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则角A，B的大小分别为()A．.，B．，C.，D．，C[因为m⊥n，所以cosA－sinA＝0，所以tanA＝，则A＝.由正弦定理及已知条件，得sinAcosB＋sinBcosA＝sin2C，所以sin(A＋B)＝sin2C，所以sinC＝sin2C.因为0＜C＜π，所以sinC≠0，所以sinC＝1，所以C＝，B＝.]13．(一题两空)已知△ABC中，AB＝，BC＝1，sinC＝cosC，则sinA＝________，△ABC的面积为________．[由sinC＝cosC，得tanC＝，所以C＝.根据正弦定理可得＝，解得sinA＝.因为AB＞BC，所以A＜C，所以A＝.所以B＝，所以△ABC为直角三角形．所以S△ABC＝××1＝.]14．我国著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，...