4.2换底公式课后训练案巩固提升A组4.若a>0,a≠1,x>y>0,n∈N+,则下列各式:①(logax)n=nlogax;②(logax)n=logaxn;③logax=-loga;④=loga;⑤logax;⑥=loga;⑦logaxn=nlogax;⑧loga=-loga.其中成立的有()A.3个B.4个C.5个D.6个解析:根据对数的运算法则及换底公式得③⑥⑦⑧正确,①②④⑤不正确.答案:B5.导学号91000123(2016山东济宁一中高一期中)已知log89=a,log25=b,则lg3等于()A.B.C.D.解析:∵log89=a,∴=a.∴=a.∴lg3=lg2.又∵log25=b,∴=b.∴=b.∴lg2=.∴lg3=,故选C.答案:C6.若mlog35=1,n=5m,则n的值为.解析:∵m==log53,∴n=5m==3.答案:37.设2a=5b=m,且=2,则m=.解析:∵a=log2m,b=log5m,∴=logm2+logm5=logm10=2,∴m2=10.又∵m>0,∴m=.答案:8.设10a=2,10b=3,则log1815=(用a,b表示).解析:由10a=2,10b=3,得a=lg2,b=lg3.故log1815=.答案:9.已知x,y为正数,且3x=4y,求使2x=py的p的值.解:设3x=4y=k(显然k≠1),则x=log3k,y=log4k,由2x=py,得2log3k=plog4k=p·.∵log3k≠0,∴p=2log34.10.导学号91000124计算:(log43+log83)+log535-2log5+log57-log51.8.解:根据对数的换底公式和运算性质可得(log43+log83)·,log535-2log5+log57-log51.8=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5=1+log57-2log57+2log53+log57-2log53+1=2,所以(log43+log83)+log535-2log5+log57-log51.8=.B组1.计算log2·log3·log5的值为()A.-20B.-5C.5D.20解析:原式=-log225·log332·log59=-=-=-20.答案:A2.导学号91000125已知f(3x)=1+2x·log23,则f(21007)的值等于()A.2013B.2014C.2015D.2017解析:令3x=t(t>0),则x=log3t,f(t)=1+2·log3t·log23=1+2·=1+,所以f(x)=1+,故f(21007)=1+=2015.答案:C3.已知x,y,z都是大于1的正数,m>0,且logxm=24,logym=40,logxyzm=12,则logzm的值为()A.60B.C.D.解析:由已知logmx=,logmy=,logmxyz=,所以logmx+logmy+logmz=,即logmz=,所以logzm=60,故选A.答案:A4.已知2x=3,log4=y,则x+2y=.解析:∵2x=3,∴x=log23.∵log4=y,∴y=log48-log43=log23,∴x+2y=log23+2=3.答案:35.(信息题)已知an=log(n+1)(n+2)(n∈N+),观察下列运算:a1a2=log23·log34=2;a1·a2·a3·a4·a5·a6=log23·log34·…·log78=·…·=3,……定义使a1·a2·…·ak为整数的k(k∈N+)叫作企盼数.试确定当a1·a2·…·ak=2016时,企盼数k=.解析:a1·a2·…·ak=·…·=log2(k+2)=2016,解得k=22016-2.答案:22016-26.某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t的变化规律是μ=μ0e-λt,其中μ0,λ是正常数.经检测,当t=2时,μ=0.90μ0,则当稳定性系数降为0.50μ0时,该种汽车已使用的年数为(结果精确到1,参考数据:lg2=0.3010,lg3=0.4771).解析:由0.90μ0=μ0(e-λ)2,得e-λ=.又0.50μ0=μ0(e-λ)t,则=()t,两边取常用对数,得lglg0.90,故t=≈13.答案:137.已知log1227=a,求log616的值(用a表示).解:∵由log1227=a,得=a,∴lg2=lg3.∴log616=.8.导学号91000126(拓展探究)已知logax+3logxa-logxy=3(a>1).(1)若设x=at,试用a,t表示y;(2)若当01),所以logay=(logax)2-3logax+3,当x=at时,logax=logaat=t,所以logay=t2-3t+3.所以y=(t≠0).(2)y=,因为01,所以当t=时,ymin==8,所以a=16,此时x==64.
