课时作业24基本不等式：≤时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．下列不等式中正确的是(D)A．a＋≥4B．a2＋b2≥4abC.≥D．x2＋≥2解析：a<0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错；a＝4，b＝16，则<，故C错；由基本不等式可知D项正确．2．若lgx＋lgy＝2，则＋的最小值为(D)A．10B.C．5D.解析： lgx＋lgy＝2，∴xy＝100.且x>0，y>0.＋≥2＝.3．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有(C)A．最大值为0B．最小值为0C．最大值为－4D．最小值为－4解析： x<0，∴－x>0.∴x＋－2＝－[(－x)＋]－2≤－2·－2＝－4，等号成立的条件是－x＝，即x＝－1.4．已知m＝a＋(a>2)，n＝22－b2(b≠0)，则m、n的大小关系是(A)A．m>nB．m2，∴a－2>0，又 m＝a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a－2＝，即a＝3时取等号．∴m≥4. b≠0，∴b2>0， 2－b2<2，∴22－b2<4，即n<4，∴m>n.5．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站(A)A．5km处B．4km处C．3km处D．2km处解析：设仓库建在离车站xkm处，则土地费用y1＝(k1≠0)，运输费用y2＝k2x(k2≠0)，把x＝10，y1＝2代入得k1＝20，把x＝10，y2＝8代入得k2＝，故总费用y＝＋x≥2＝8，当且仅当＝x，即x＝5时等号成立．6．已知x>1，y>1且xy＝16，则log2x·log2y(D)A．有最大值2B．等于4C．有最小值3D．有最大值4解析：因为x>1，y>1，所以log2x>0，log2y>0.所以log2x·log2y≤2＝2＝4，当且仅当x＝y＝4时取等号．故选D.二、填空题7．已知x、y都是正数，(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是2；(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是.解析：(1)x＋y≥2＝2，即x＋y的最小值是2；当且仅当x＝y＝时取最小值．(2)xy≤2＝2＝，即xy的最大值是.当且仅当x＝y＝时xy取最大值．8．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是.解析：因为x>0，所以x＋≥2.当且仅当x＝1时取等号，所以有＝≤＝即的最大值为，故a≥.9．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④＋≥2，对满足条件的a，b恒成立的是①③④.(填序号)解析：因为ab≤2＝1，所以①正确；因为(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2≤2＋a＋b＝4，故②不正确；a2＋b2≥＝2，所以③正确；＋＝＝≥2，所以④正确．三、解答题10．(1)已知00.y＝·2x·(1－2x)≤2＝×＝.∴当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，y最大值＝.(2) x<3，∴x－3<0，∴f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3＝－＋3≤－2＋3＝－1，当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号，∴f(x)的最大值为－1.(3)法一： x，y∈R＋，∴(x＋y)＝4＋≥4＋2.当且仅当＝，即x＝2(－1)，y＝2(3－)时取“＝”号．又x＋y＝4，∴＋≥1＋，故＋的最小值为1＋.法二： x，y∈R＋，且x＋y＝4，∴＋＝＋＝1＋≥1＋2＝1＋.当且仅当＝，即x＝2(－1)，y＝2(3－)时取“＝”号．∴＋的最小值为1＋.11．设a，b，c∈R＋.求证：(1)ab(a＋b)＋bc(b＋c)＋ca(c＋a)≥6abc；(2)(a＋b＋c)≥4.证明：(1) a，b，c∈R＋，∴左边＝a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋c2a＋ca2＝(a2b＋bc2)＋(b2c＋ca2)＋(c2a＋ab2)≥2＋2＋2＝6abc＝右边，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．(2) a，b，c∈R＋，∴左边＝[a＋(b＋c)]≥2·2＝4＝右边，当且仅当a＝b＋c时，等号成立．——能力提升类——12．若f(x)＝x，a，b均为正数，P＝f，G＝f()，H＝f，则(A)A．P≤G≤HB．P≤H≤GC．G≤H≤PD．H≤G≤P解析：因为a，b均为正数，所以≥＝≥＝，当且仅当a＝b时等号成立．又因为f(x)＝x为减函数，所以f≤f()≤f，所以P≤G≤H.13．已知a>0，b>0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为(C)A．8B．7C．6D．5解析：由已知，可得6＝1，所以2a＋b＝6·(2a＋b)＝6≥6×(5＋4)＝54，当且仅当＝时等号成立，所以9m≤54，即m≤6，故选C.14．设a，b>0，a＋b＝5，则＋的最大值为3.解析：令t＝＋...
