第2课时基本不等式的应用课后篇巩固探究A组1.函数f(x)=x+-1的值域是()A.(-∞,-3]∪[5,+∞)B.[3,+∞)C.(-∞,-5]∪[3,+∞)D.(-∞,-4]∪[4,+∞)解析当x>0时,x+-1≥2-1=3,当且仅当x=2时,取等号;当x<0时,x+-1=--1≤-5,当且仅当x=-2时,取等号.所以函数的值域为(-∞,-5]∪[3,+∞).答案C2.若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a=()A.1+B.1+C.3D.4解析f(x)=x+=x-2++2. x>2,∴x-2>0.∴f(x)=x-2++2≥2+2=4,当且仅当x-2=,即x=3时,等号成立.又f(x)在x=a处取最小值,∴a=3.答案C3.周长为4+2的直角三角形的面积的最大值是()A.2B.1C.4D.解析设两条直角边长分别为a,b,则斜边长为,于是依题意有a+b+=4+2.由基本不等式知a+b+=4+2≥2,即≤2,所以ab≤4,当且仅当a=b=2时,取等号.故三角形的面积S=ab≤2.答案A4.若x,y>0,且xy-(x+y)=1,则有()A.x+y≥2(+1)B.xy≤+1C.x+y≤(+1)2D.xy≥2(+1)解析由xy-(x+y)=1,得xy=1+(x+y)≤,即(x+y)2-4(x+y)-4≥0.因为x>0,y>0,所以解得x+y≥2+2=2(+1),当且仅当x=y时,取等号.答案A5.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2、形状为直角三角形的框架,在下面四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是()A.6.5mB.6.8mC.7mD.7.2m解析设两条直角边长分别为am,bm,直角三角形框架的周长为lm,则斜边长为m,ab=2,即ab=4.所以l=a+b+≥2=4+2≈6.828,当且仅当a=b=2时,取等号.由于要求够用且浪费最少,故选C.答案C6.若正数x,y满足x+4y=4,则xy的最大值为.解析由基本不等式可得x+4y≥2=4,于是4≤4,xy≤1,当且仅当x=4y时,取等号.故xy的最大值为1.答案17.要建造一个容积为18m3,深为2m的长方形无盖水池,如果池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元,那么水池的最低造价为元.解析设水池底的长为xm,宽为ym,则有2xy=18,即xy=9.这时水池的造价p=200xy+150×2×(2x+2y),即p=1800+600(x+y),于是p≥1800+600×2=1800+600×2=5400,当且仅当x=y=3时,等号成立.故水池的最低造价为5400元.答案54008.已知不等式≤k对所有正数x,y都成立,则k的最小值是.解析因为x>0,y>0,所以x+y≥22(⇒x+y)≥()2⇒,即,要使≤k对所有正数x,y都成立,即k≥,故k≥,即k的最小值为.答案9.求函数y=(x>1)的最大值.解函数y==2+.令x-1=t(t>0),则x=1+t.所以y=2+=2+≤2+=2+,当且仅当t=2,即x=3时,函数取得最大值.10.导学号04994089为了夏季降温和减少能源消耗,某体育馆外墙需要建造可使用30年的隔热层,每厘米厚的隔热层的建造成本为2万元,设每年的能源消耗费用为C(单位:万元),隔热层的厚度为x(单位:cm),二者满足函数关系式:C(x)=(0≤x≤15,k为常数).已知隔热层的厚度为10cm时,每年的能源消耗费用是1万元.设f(x)为隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式;(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求出最小值.解(1) 当x=10时,C(x)=1,∴k=15,即C(x)=,∴f(x)=30×+2x=+2x(0≤x≤15).(2) f(x)=+2x=+2(x+5)-10≥2-10=50,当且仅当=2(x+5),即x=10时,取等号.故当隔热层修建10cm厚时,总费用达到最小值50万元.B组1.若a<1,则a+的最大值是()A.3B.aC.-1D.解析因为a<1,所以a-1<0,因此a+=a-1++1≤-2+1=-1,当且仅当1-a=,即a=0时,取等号,故选C.答案C2.已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是()A.3B.4C.D.解析由于x>0,y>0,所以2xy=x·2y≤,当且仅当x=2y=2时,取等号.因为2xy=8-(x+2y),于是有8-(x+2y)≤.令x+2y=t,则t2+4t-32≥0,解得t≥4或t≤-8(舍去),因此x+2y≥4,即x+2y的最小值是4,故选B.答案B3.已知函数y=loga(x+3)-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+2=0上,其中m>0,n>0,则的最小值为()A.2B.4C.D.解析 当x=-2时,y=loga1-1=-1,∴函数y=loga(x+3)-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A(-2,-1). 点A在直线mx+ny+2=0上,∴-2m-n+2=0,即2m+n=2. m>0,n>0,∴(2m+n)(当且仅当时,等号成立).答案D4.如图,有一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为72dm2(图中阴影部分),上下空白各宽2dm,左右空白各宽1dm,则四周空白部分面积的最小值是dm2.解析设阴影部分的长为xdm,则宽为dm,四周空白部分的面积是ydm2.由题意,得y=(x+4)-72=8+2≥8+2×2=56.当且仅当x=,即x=12时,等号成立.答案565.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是.解析 2x+2y=1...
