3.4基本不等式：≤第2课时基本不等式的应用A级基础巩固一、选择题1．若x＞0，则函数y＝－x－()A．有最大值－2B．有最小值－2C．有最大值2D．有最小值2解析：因为x＞0，所以x＋≥2.所以－x－≤－2.当且仅当x＝1时，等号成立，故函数y＝－x－有最大值－2.答案：A2．下列命题正确的是()A．函数y＝x＋的最小值为2B．若a，b∈R且ab>0，则＋≥2C．函数＋的最小值为2D．函数y＝2－3x－的最小值为2－4解析：A错误，当x<0时或≠1时不成立；B正确，因为ab>0，所以>0，>0，且＋≥2；C错误，若运用基本不等式，需2＝1，x2＝－1无实数解；D错误，y＝2－(3x＋)≤2－4.答案：B3．lg9·lg11与1的大小关系是()A．lg9·lg11＞1B．lg9·lg11＝1C．lg9·lg11＜1D．不能确定解析：lg9×lg11≤＝＜＝＝1.答案：C4．已知a，b∈R，且a＋b＝1，则ab＋的最小值为()A．2B.C.D．2答案：C5．已知a＝(x－1，2)，b＝(4，y)(x，y为正数)，若a⊥b，则xy的最大值是()A.B．－C．1D．－1解析：因为a⊥b，则a·b＝0，所以4(x－1)＋2y＝0，所以2x＋y＝2，所以xy＝(2x)·y≤·＝，当且仅当2x＝y时，等号成立．答案：A二、填空题6．设x>－1，则函数y＝的最小值是________．解析：因为x>－1，所以x＋1>0，设x＋1＝t>0，则x＝t－1，于是有y＝＝＝t＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当t＝，即t＝2时取“＝”，此时x＝1.所以当x＝1时，函数y＝取得最小值9.答案：97．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．解析：ab＝a＋b＋3≥2＋3，所以(－3)(＋1)≥0，所以≥3，所以ab≥9.答案：[9，＋∞)8．当x＞1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的最大值为________．解析：x＋≥a恒成立⇔≥a，因为x＞1，即x－1＞0，所以x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立．所以a≤3，即a的最大值为3.答案：3三、解答题9．已知x，y>0，且x＋2y＋xy＝30，求xy的范围．解：因为x，y是正实数，故30＝x＋2y＋xy≥2＋xy，当且仅当x＝2y，即x＝6，y＝3时，等号成立．所以xy＋2－30≤0.令＝t，则t>0，得t2＋2t－30≤0，解得－5≤t≤3.又t>0，知0<≤3，即xy的范围是(0，18]．10．(1)设a＞b＞c，且＋≥恒成立，求m的取值范围．(2)记F(x，y)＝x＋y－a(x＋2)，x，y∈(0，＋∞)．若对任意的x，y∈(0，＋∞)，恒有F(x，y)≥0，请求出a的取值范围．解：(1)由a＞b＞c，知a－b＞0，a－c＞0.所以原不等式等价于＋≥m.要使原不等式恒成立，只需＋的最小值不小于m即可．因为＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4.当且仅当＝，即2b＝a＋c时，等号成立，所以m≤4，即m∈(－∞，4]．(2)由F(x，y)≥0，得x＋y≥a(x＋2)．因为x＞0，y＞0，所以a≤.所以a≤.因为2≤x＋2y，所以≥＝，当且仅当x＝2y＞0时，等号成立．所以a∈.B级能力提升1．某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为400平方米的三级污水处理池，如图所示，池外圈造价为每米200元，中间两条隔墙造价为每米250元，池底造价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)．若使水池的总造价最低，那么污水池的长和宽分别为()A.40米，10米B．20米，20米C．30米，米D．50米，8米解析：设总造价为y元，污水池的长为x米，则宽为米，总造价y＝×200＋2×250·＋80×400＝400·＋32000≥400×2＋32000＝56000(元)，当且仅当x＝，即x＝30时等号成立，此时污水池的宽为米．答案：C2．函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n＞0，则＋的最小值为________．解析：函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A(－2，－1)，且点A在直线mx＋ny＋1＝0上，所以2m＋n＝1，m，n＞0，所以＋＝·(2m＋n)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当即时等号成立．答案：83．桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池糖养鱼，挖出的泥土堆在池糖四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池糖周围的基围宽约为2米，如图，设池塘所占的总面积为S平方米．(1)试用x表示S；(2)当x取何值时，才能使得S最大？并求出S的最大值．解：(1)由图形知，3a＋6＝x，所以a＝.则总面积S＝·a＋2a＝a＝＝1832－，即S＝1832－(x＞0)．(2)由S＝1832－，得S≤1832－2＝1832－2×240＝1352.当且仅当＝，即x＝45时等号成立．即当x为45米时，S最大，且S最大值为1352平方米．
