3.4基本不等式：≤第1课时基本不等式A级基础巩固一、选择题1．下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是()A．lg(x2＋1)≥lg(2x)B．x2＋1＞2xC.≤1D．x＋≥2解析：对于A，当x≤0时，无意义，故A不恒成立；对于B，当x＝1时，x2＋1＝2x，故B不成立；对于D，当x＜0时，不成立．对于C，x2＋1≥1，所以≤1成立，故选C.答案：C2．若a≥0，b≥0且a＋b＝2，则()A．ab≤B．ab≥C．a2＋b2≥2D．a2＋b2≤3解析：因为a2＋b2≥2ab，所以(a2＋b2)＋(a2＋b2)≥(a2＋b2)＋2ab，即2(a2＋b2)≥(a＋b)2＝4，所以a2＋b2≥2.答案：C3．四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列，则()A.＞B.＜C.＝D.≤解析：因为a，b，c，d成等差数列，则a＋d＝b＋c，又因为a，b，c，d＞0且不相等，所以b＋c＞2，故＞.答案：A4．a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是()A．a2＋b2≥2|ab|B．a2＋b2＝2|ab|C．a2＋b2≤2|ab|D．a2＋b2＞2|ab|解析：因为a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，所以a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|＝|b|时，等号成立)．答案：A5．设f(x)＝lnx，0
pC．p＝rq解析：因为0，又因为f(x)＝lnx在(0，＋∞)上为增函数，故f>f()，即q>p.又r＝(f(a)＋(b))＝(lna＋lnb)＝lna＋lnb＝ln(ab)＝f()＝p.故p＝r0成立，若t>0，则logat____loga(填“>”“≥”“≤”或“<”)．解析：因为a2＋a－2>0，所以a>1或a<－2(舍)，所以y＝logax是增函数，又≥，所以loga≥loga＝logat.答案：≤7．已知a，b∈R，如果ab＝1，那么a＋b的最小值为________；如果a＋b＝1，那么ab的最大值为________．解析：因为a，b∈R，所以≥，所以a＋b≥2＝2.故当ab＝1时，a＋b取最小值2，此时a＝b＝1.又当a＋b＝1时，≤＝.所以ab≤.答案：28．若0＜a＜b且a＋b＝1，试判断，a、b、2ab、a2＋b2的大小顺序________．解析：因为0＜a＜b，a＋b＝1，所以a＜＜b①2ab＜a2＋b2②下面寻找②中数值在①中的位置．因为a2＋b2＞2()2＝，a2＋b2＝a·a＋b2＜a·b＋b2＝(1－b)b＋b2＝b，所以＜a2＋b2＜b.又2ab＜2()2＝，2ab＞2×a＝a，所以a＜2ab＜.所以a＜2ab＜＜a2＋b2＜b.答案：a＜2ab＜＜a2＋b2＜b三、解答题9．已知a，b，c为正数，证明：＋＋≥3.证明：左式＝＋＋＝＋＋－3≥2＋2＋2－3＝3，当且仅当a2＝4b2＝9c2，即a＝2b＝3c时，等号成立．10．已知a，b，c为不全相等的正实数，则abc＝1.求证：＋＋＜＋＋.证明：因为a，b，c都是正实数，且abc＝1，所以＋≥2＝2，＋≥2＝2，＋≥2＝2，以上三个不等式相加，得2≥2(＋＋)，即＋＋＜＋＋.B级能力提升1．若a＞b＞0，则下列不等式中总成立的是()A.＜＜B.≥≥C.＞＞D.＜＜解析：a＞b＞0，＞，＜＝.从而＞＞.答案：C2．已知a、b都是正实数，函数y＝2aex＋b的图象过点(0，1)，则＋的最小值是________．解析：依题意得2aex＋b＝2a＋b＝1，＋＝(2a＋b)=3＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即a＝1－，b＝－1时取等号，因此＋的最小值是3＋2.答案：3＋23．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：(1)ab＋bc＋ac≤；(2)＋＋≥1.证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c.故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.
