3.3.2基本不等式与最大（小）值[A基础达标]1．设x＞0，则y＝3－3x－的最大值是()A．3B．3－2C．3－2D．－1解析：选C.y＝3－3x－＝3－≤3－2＝3－2，当且仅当3x＝，即x＝时取等号．2．函数y＝log2(x>1)的最小值为()A．－3B．3C．4D．－4解析：选B.因为x＋＋5＝(x－1)＋＋6≥2＋6＝8.所以log2≥3，所以ymin＝3.当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立．3．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为()A．16B．25C．9D．36解析：选B.(1＋x)(1＋y)≤＝＝＝25，因此当且仅当1＋x＝1＋y即x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25，故选B.4．已知x＞1，y＞1且xy＝16，则log2x·log2y()A．有最大值2B．等于4C．有最小值3D．有最大值4解析：选D.因为x＞1，y＞1，所以log2x＞0，log2y＞0.所以log2x·log2y≤＝＝4，当且仅当x＝y＝4时取等号．故选D.5．已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝()A．－3B．2C．3D．8解析：选C.y＝x－4＋＝(x＋1)＋－5，因为x>－1，所以x＋1>0，所以y≥2－5＝2×3－5＝1.当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立，即a＝2，b＝1，所以a＋b＝3.6．已知x，y>0且x＋y＝1，则p＝x＋＋y＋的最小值为________．解析：x＋＋y＋＝x＋＋y＋＝3＋≥3＋2＝5，当且仅当x＝y＝时等号成立．答案：57．周长为＋1的直角三角形面积的最大值为________．解析：设直角三角形的两条直角边边长分别为a、b，则＋1＝a＋b＋≥2＋，解得ab≤，当且仅当a＝b＝时取“＝”，所以直角三角形面积S≤，即S的最大值为.答案：8．若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，则2a＋b的最小值为________．解析：因为直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，所以＋＝1，因为a>0，b>0，所以2a＋b＝(2a＋b)(＋)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝2，b＝4时等号成立，所以2a＋b的最小值为8.答案：89．求下列函数的最小值．(1)设x，y都是正数，且＋＝3，求2x＋y的最小值；(2)设x＞－1，求y＝的最小值．解：(1)2x＋y＝＝(2x＋y)＝≥(2＋4)＝.当且仅当＝时等号成立，即y2＝4x2.所以y＝2x.又因为＋＝3，得x＝，y＝.所以当x＝，y＝时，2x＋y取得最小值为.(2)因为x＞－1，所以x＋1＞0.设x＋1＝t＞0，则x＝t－1，于是有y＝＝＝t＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1.所以当x＝1时，函数y＝取得最小值为9.10.桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2.(1)试用x，y表示S；(2)若要使S最大，则x，y的值各为多少？解：(1)由题可得，xy＝1800，b＝2a，则y＝a＋b＋6＝3a＋6，S＝(x－4)a＋(x－6)b＝(3x－16)a＝(3x－16)＝1832－6x－y(x＞6，y＞6，xy＝1800)．(2)法一：S＝1832－6x－y≤1832－2＝1832－480＝1352，当且仅当6x＝y，xy＝1800，即x＝40，y＝45时，S取得最大值1352.法二：S＝1832－6x－×＝1832－≤1832－2＝1832－480＝1352，当且仅当6x＝，即x＝40时取等号，S取得最大值．此时y＝＝45.[B能力提升]11．已知a>0，b>0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则实数m的最大值为()A．8B．7C．6D．5解析：选C.由已知，可得6＝1，所以2a＋b＝6·(2a＋b)＝6≥6×(5＋4)＝54，当且仅当＝时等号成立，所以9m≤54，即m≤6，故选C.12．若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．解析：＝＋＋，由基本不等式得，＋＋≥2＋＝4ab＋≥4，当且仅当＝，4ab＝同时成立时等号成立．答案：413．已知lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)．(1)求xy的最小值；(2)求x＋y的最小值．解：由lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)，得(1)因为x＞0，y＞0，所以3xy＝x＋y＋1≥2＋1，所以3xy－2－1≥0，即3()2－2－1≥0.所以(3＋1)(－1)≥0.所以≥1，所以xy≥1.当且仅当x＝y＝1时，等号成立．所以xy的最小值为1.(2)因为x＞0，y＞0，所以x＋y＋1＝3xy≤3·，所以3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，所以[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0.所以x＋y≥2.当且仅当x＝y＝1时取等号．所以x＋y的最小值为2...
