7.2.1复数的加、减运算及其几何意义一、选择题1．已知i是虚数单位，则复数z＝(4＋i)＋(－3－2i)的虚部是()A．1B.C．－1D．－i解析：z＝(4＋i)＋(－3－2i)＝(4－3)＋(1－2)i＝1－i.故复数z的虚部为－1.答案：C2．已知复数z1＝7－6i，z2＝4－7i，则z1－z2＝()A．3＋iB．3－iC．11－13iD．3－13i解析：z1－z2＝(7－6i)－(4－7i)＝(7－4)＋[－6－(－7)]i＝3＋i.答案：A3．已知复数z1＝1＋3i，z2＝3＋i(i为虚数单位)．在复平面内，z1－z2对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：∵z1＝1＋3i，z2＝3＋i，∴z1－z2＝－2＋2i，故z1－z2在复平面内对应的点(－2,2)在第二象限．答案：B4．非零复数z1，z2分别对应复平面内的向量OA，OB，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则()A.OA＝OBB．|OA|＝|OB|C.OA⊥OBD.OA，OB共线解析：如图，由向量的加法及减法法则可知，OC＝OA＋OB，BA＝OA－OB.由复数加法及减法的几何意义可知，|z1＋z2|对应OC的模，|z1－z2|对应BA的模，又|z1＋z2|＝|z1－z2|，所以四边形OACB是矩形，则OA⊥OB.答案：C二、填空题5．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a＝________，b＝________.解析：z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i，z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i，由已知得b＋4＝0，a＋3＝0，∴a＝－3，b＝－4.答案：－3－46．已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i(m∈R)．若z1－z2＝0，则m＝________.解析：z1－z2＝m2－3m＋m2i－[4＋(5m＋6)i]＝m2－3m－4＋(m2－5m－6)i.∵z1－z2＝0，∴解得m＝－1.答案：－17．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，这个正方形的第四个顶点对应的复数是________．解析：设复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点分别是A，B，C，则A(1,2)，B(－2,1)，C(－1，－2)．设正方形第四个顶点对应的坐标是D(x，y)，则其对应的复数为x＋yi，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝BC，∴(x－1，y－2)＝(1，－3)，∴x－1＝1，y－2＝－3，解得x＝2，y＝－1.故这个正方形的第四个顶点对应的复数是2－i.答案：2－i三、解答题8．计算(1)＋；(2)(3＋2i)＋(－2)i；(3)(1＋2i)＋(i＋i2)＋|3＋4i|；(4)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．解析：(1)原式＝－i＝－i.(2)原式＝3＋(2＋－2)i＝3＋i.(3)原式＝(1＋2i)＋(i－1)＋＝(1－1＋5)＋(2＋1)i＝5＋3i.(4)原式＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i＝8＋2i.9．在复平面内，A，B，C三点对应的复数1,2＋i，－1＋2i.D为BC的中点．(1)求向量AD对应的复数；(2)求△ABC的面积．解析：(1)由条件知在复平面内B(2,1)，C(－1,2)．则D，点D对应的复数是＋i，AD＝OD－OA＝－(1,0)＝，∴AD对应复数为－＋i(2)AB＝OB－OA＝(1,1)，|AB|＝，AC＝OC－OA＝(－2,2)，|AC|＝＝2，BC＝OC－OB＝(－3,1)，|BC|＝，∴|BC|2＝|AC|2＋|AB|2，∴△ABC为直角三角形．∴S△ABC＝|AB|·|AC|＝××2＝2.[尖子生题库]10．设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|.解析：方法一设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，由题设知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2.又由(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2，可得2ac＋2bd＝0.∴|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd)＝2，∴|z1－z2|＝.方法二∵|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)，将已知数值代入，可得|z1－z2|2＝2，∴|z1－z2|＝.方法三在复平面内分别作出复数z1，z2对应的向量OZ1，OZ2，∵|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，∴OZ1，OZ2不共线(若OZ1，OZ2共线，则|z1＋z2|＝2或0)．以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形OZ1ZZ2(图略)，则由|z1|＝|z2|可知四边形OZ1ZZ2为菱形．又|z1|2＋|z2|2＝|z1＋z2|2，∴∠Z1OZ2＝90°，即四边形OZ1ZZ2为正方形，故|z1－z2|＝.
