7.2复数的四则运算7.2.1复数的加、减运算及其几何意义课后篇巩固提升基础达标练1.若复数z1=-2+i,z2=1+2i,则复数z1-z2在复平面内对应点所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析z1-z2=(-2+i)-(1+2i)=(-2-1)+(i-2i)=-3-i,故z1-z2对应点的坐标为(-3,-1)在第三象限.答案C2.设z1=2+bi(b∈R),z2=a+i(a∈R),当z1+z2=0时,复数a+bi为()A.1+iB.2+iC.3D.-2-i解析因为z1+z2=(2+bi)+(a+i)=(2+a)+(b+1)i=0,所以于是故a+bi=-2-i.答案D3.复数z1=a+4i,z2=-3+bi,若它们的和为实数,差为纯虚数,则实数a,b的值为()A.a=-3,b=-4B.a=-3,b=4C.a=3,b=-4D.a=3,b=4解析由题意可知z1+z2=(a-3)+(b+4)i是实数,z1-z2=(a+3)+(4-b)i是纯虚数,故解得a=-3,b=-4.答案A4.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量对应的复数分别是3+i,-1+3i,则对应的复数是()A.2+4iB.-2+4iC.-4+2iD.4-2i解析依题意有,而(3+i)-(-1+3i)=4-2i,即对应的复数为4-2i,故选D.答案D5.若z1=2+i,z2=3+ai(a∈R),且z1+z2所对应的点在实轴上,则a的值为()A.3B.2C.1D.-1解析由于z1+z2=2+i+3+ai=(2+3)+(1+a)i=5+(1+a)i.因为z1+z2所对应的点在实轴上,所以1+a=0,故a=-1.答案D6.已知复数z满足z+1+2i=10-3i,则z=.解析因为z+1+2i=10-3i,所以z=(10-3i)-(2i+1)=9-5i.答案9-5i7.已知z是复数,|z|=3且z+3i是纯虚数,则z=.解析设z=a+bi(a,b∈R),则a+bi+3i=a+(b+3)i是纯虚数,∴a=0,b+3≠0.又∵|z|=3,∴b=3,∴z=3i.答案3i8.(2020河南六市联考)设m∈R,复数z1=+(m-15)i,z2=-2+m(m-3)i,若z1+z2是虚数,求m的取值范围.解∵z1=+(m-15)i,z2=-2+m(m-3)i,∴z1+z2=+[(m-15)+m(m-3)]i=+(m2-2m-15)i.∵z1+z2为虚数,∴m2-2m-15≠0,且m≠-2,解得m≠5,m≠-3,且m≠-2(m∈R).所以m的取值范围为(-∞,-3)∪(-3,-2)∪(-2,5)∪(5,+∞).能力提升练1.(2019全国Ⅰ高考)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.(x+1)2+y2=1B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1解析设z=x+yi(x,y∈R).因为z-i=x+(y-1)i,所以|z-i|==1,则x2+(y-1)2=1.故选C.答案C2.若|z|+z=3+i,则z=()A.1-iB.1+iC.+iD.-+i解析设复数z=x+yi(x,y∈R),依题意有+x+yi=3+i,因此解得故z=+i.答案C3.(2020天津检测)设z∈C,且|z+1|-|z-i|=0,则|z+i|的最小值为()A.0B.1C.D.解析由|z+1|=|z-i|知,在复平面内,复数z对应的点的轨迹是以(-1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线,即直线y=-x,而|z+i|表示直线y=-x上的点到点(0,-1)的距离,其最小值等于点(0,-1)到直线y=-x的距离即为.答案C4.已知f(z+i)=3z-2i,则f(i)=.解析设z=a+bi(a,b∈R),则f[a+(b+1)i]=3(a+bi)-2i=3a+(3b-2)i,令a=0,b=0,则f(i)=-2i.答案-2i5.复数z1=-2mi,z2=-m+m2i,若z1+z2>0,则实数m=,对应的点位于第象限.解析z1+z2=(-2mi)+(-m+m2i)=(-m)+(m2-2m)i.∵z1+z2>0,∴z1+z2为实数且大于0.∴解得m=2.∴z2=-2+4i,=-2-4i,对应点为(-2,-4),位于第三象限.答案2三6.已知复平面内平行四边形ABCD,点A对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,求:(1)点C,D对应的复数;(2)平行四边形ABCD的面积.解(1)因为向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,所以向量对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i.又,所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i.因为,所以向量对应的复数为3-i,即=(3,-1).设D(x,y),则=(x-2,y-1)=(3,-1),所以解得故点D对应的复数为5.(2)因为=||||cosB,所以cosB=,即sinB=.于是S=||||sinB==7,故平行四边形ABCD的面积为7.素养培优练复平面上三点A,B,C分别对应复数1,2i,5+2i,则由A,B,C所构成的三角形是()A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形解析|AB|=|2i-1|=,|AC|=|4+2i|=,|BC|=5,∴|BC|2=|AB|2+|AC|2.故选A.答案A
