7.2.3同角三角函数的基本关系式课后篇巩固提升基础巩固1.已知cosα=513,且α∈(0,π),则tanα=()A.125B.512C.-125D.-512解析∵sin2α+cos2α=1,α∈(0,π),∴sinα=1213.∵tanα=sinαcosα,∴tanα=125.答案A2.已知tanα=m(π<α<3π2),则sinα=()A.m❑√m2+1B.±m❑√m2+1C.±m❑√m2+1D.-m❑√m2+1答案D3.已知sinαcosα=18,0<α<π2,则sinα+cosα的值是()A.14B.-❑√32C.❑√32D.❑√52解析由题意,(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=54,因为0<α<π2,所以sinα+cosα>0,则sinα+cosα=❑√52.答案D4.化简❑√1+2sin4cos4的结果是()A.sin4+cos4B.sin4-cos4C.cos4-sin4D.-cos4-sin4解析因为π<4<3π2,所以sin4<0,cos4<0.又❑√1+2sin4cos4=❑√(sin4+cos4)2,所以❑√1+2sin4cos4=|cos4+sin4|=-cos4-sin4.答案D5.若sinα❑√1+1tan2α−cosα❑√1+tan2α=-1,则α是第象限的角.答案四6.若tanα=13,则sinαcosα的值为.答案3107.证明:(1)1-cos2αsinα-cosα−sinα+cosαtan2α-1=sinα+cosα;(2)(2-cos2α)(2+tan2α)=(1+2tan2α)(2-sin2α).证明(1)左边=sin2αsinα-cosα−sinα+cosαsin2α-cos2αcos2α=sin2αsinα-cosα−cos2α(sinα+cosα)(sinα-cosα)(sinα+cosα)=sin2αsinα-cosα−cos2αsinα-cosα=sinα+cosα=右边.故原式成立.(2)因为左边=4+2tan2α-2cos2α-sin2α=2+2tan2α+2sin2α-sin2α=2+2tan2α+sin2α,右边=(1+2tan2α)(1+cos2α)=1+cos2α+2tan2α+2sin2α=2+2tan2α+sin2α,所以左边=右边,原式成立.能力提升1.若tanθ+1tanθ=4,则sinθcosθ等于()A.110B.18C.16D.14解析∵tanθ+1tanθ=4,∴sinθcosθ+cosθsinθ=4,即sin2θ+cos2θsinθcosθ=4,sinθcosθ=14.故选D.答案D2.在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示,它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积是1,小正方形的面积是125,则sin2θ-cos2θ=()A.1B.725C.-725D.-2425解析由题意得直角三角形的面积S=1-1254=625,设三角形的直角边长分别为x,y,则有{x2+y2=1,12xy=625⇒x=35,y=45,或x=45,y=35.因为θ为较小的锐角,所以sinθ=351=35,cosθ=451=45,sin2θ-cos2θ=352-452=-725,故选C.答案C3.(多选)化简❑√1-sin2160°的结果是()A.cos160°B.|cos160°|C.±cos160°D.-cos160°解析因为160°角为第二象限角,所以❑√1-sin2160°=❑√cos2160°=|cos160°|=-cos160°,选项B、D正确.答案BD4.(双空)已知sinα,cosα是关于x的一元二次方程2x2-x-m=0的两根,则sinα+cosα=,m=.解析由题意知{sinα+cosα=12,sinα·cosα=-m2.∵(sinα+cosα)2=1+2sinα·cosα,∴14=1-m,∴m=34.答案12345.若非零实数m,n满足tanα-sinα=m,tanα+sinα=n,则cosα等于.答案n-mm+n6.已知A是△ABC的一个内角,且tanA=-54,求sinA,cosA的值.解∵tanA=-54,且A是△ABC的一个内角,∴π2
0,cosA<0.由{sinAcosA=-54,sin2A+cos2A=1,解得{sinA=5❑√4141,cosA=-4❑√4141.7.已知tanα=m(m≠0),求sinα和cosα的值.解∵sinαcosα=tanα=m,∴sinα=mcosα.又sin2α+cos2α=1,∴m2cos2α+cos2α=1,∴cos2α=11+m2.当α为第一或第四象限的角时,cosα=1❑√1+m2,sinα=m❑√1+m2;当α为第二或第三象限的角时,cosα=-1❑√1+m2,sinα=-m❑√1+m2.8.求证:sinα(1+tanα)+cosα1+1tanα=1sinα+1cosα.证明因为左边=sinα1+sinαcosα+cosα1+cosαsinα=sinα+sin2αcosα+cosα+cos2αsinα=sin2α+cos2αsinα+sin2α+cos2αcosα=1sinα+1cosα=右边,所以原等式成立.9.已知关于x的方程2x2-(❑√3+1)x+m=0的两根为sinθ和cosθ,θ∈(0,2π),求:(1)m的值;(2)方程的两根及此时θ的值.解由根与系数的关系,可知{sinθ+cosθ=❑√3+12,①sinθ·cosθ=m2,②Δ=4+2❑√3-8m≥0,③(1)由①式平方得1+2sinθcosθ=2+❑√32,所以sinθcosθ=❑√34.综合②得m2=❑√34,所以m=❑√32.由③得m≤4+2❑√38=2+❑√34,而❑√32<2+❑√34,所以m=❑√32.(2)当m=❑√32时,原方程变为2x2-(❑√3+1)x+❑√32=0,解得x1=❑√32,x2=12.所以{sinθ=❑√32,cosθ=12或{cosθ=❑√32,sinθ=12.又因为θ∈(0,2π),所以θ=π3或θ=π6.
