正弦定理A级基础巩固一、选择题1．在△ABC中，若a＝3，cosA＝，则△ABC外接圆的半径为()A．6B．2C．3D.答案：D2．在△ABC中，a＝3，b＝，A＝60°，那么角B等于()A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°解析：因为a＝3，b＝，A＝60°，所以sinB＝＝.因为a>b，所以A>B，所以B＝30°.答案：A3．在△ABC中，b＝5，B＝，tanA＝2，则a的值为()A．10B．2C.D.解析：因为在△ABC中，b＝5，B＝，tanA＝＝2，sin2A＋cos2A＝1，所以sinA＝.由正弦定理可得＝，解得a＝2.答案：B4．在△ABC中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是()A．a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCB．a＝b⇔sin2A＝sin2BC．＝D．正弦值较大的角所对的边也较大解析：在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝k(k>0)，则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC，故a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC，故A正确．当A＝30°，B＝60°时，sin2A＝sin2B，此时a≠b，故B错误．根据比例式的性质易得C正确．大边对大角，故D正确．答案：B5．在△ABC中，a＝bsinA，则△ABC一定是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解析：由正弦定理得：＝＝2R，由a＝bsinA得：2RsinA＝2RsinB·sinA，所以sinB＝1，所以B＝.答案：B二、填空题6．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边．若2sinB＝sinA＋sinC，cosB＝，且S△ABC＝6，则b＝________．解析：在△ABC中，cosB＝，则sinB＝.由S△ABC＝·acsinB＝6，得ac＝15，由正弦定理得2b＝a＋c，所以cosB＝－1，即＝－1，解得b2＝16，又b>0，所以b＝4.答案：47．在△ABC中，已知a∶b∶c＝4∶3∶5，则＝________．解析：设a＝4k，b＝3k，c＝5k(k>0)，由正弦定理，得＝＝＝1.答案：18．在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2，则AB边上的高是________．解析：由正弦定理，＝，所以sinC＝＝＝，所以C＝60°或120°，(1)当C＝60°时，A＝90°，AB边上的高为2；(2)当C＝120°时，A＝30°，AB边上的高为2sin30°＝1.答案：1或2三、解答题9．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若C＝45°，b＝4，sinB＝.(1)求c的值；(2)求sinA的值．解：(1)因为C＝45°，b＝4，sinB＝，所以由正弦定理可得c＝＝＝5.(2)因为sinB＝，B为锐角，所以cosB＝＝，所以sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝×＋×＝.10．在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，试判断三角形的形状．解：由已知得＝，由正弦定理得＝.因为sinA，sinB≠0，所以sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B.所以2A＋2B＝π或2A＝2B.所以A＋B＝或A＝B.所以△ABC为直角三角形或等腰三角形．B级能力提升1.如图所示，在△ABC中，已知∠A∶∠B＝1∶2，角C的平分线CD把三角形面积分为3∶2两部分，则cosA等于()A.B.C.D．0解析：因为角C的平分线为CD，所以∠ACD＝∠BCD，因为＝＝＝，所以设AC＝3x，CB＝2x，因为∠A∶∠B＝1∶2，设∠A＝α，∠B＝2α，在△ABC中，利用正弦定理＝＝，解得：cosα＝.答案：C2．△ABC中，∠A＝60°，点D在边AC上，DB＝，且BD＝λ(λ>0)，则AC＋AB的最大值为________．解析：如图，作BE⊥AC于E，取AC中点F连接BF，＝λ＝λ(＋)＝(BA＋BC)＝BF，所以BD与BF共线，从而点D与点F重合，即D是AC中点．△ABD中，A＝60＝，记∠ABD＝α，则0<α<，sin∠ADB＝sin，由正弦定理得＝＝，即＝＝，所以AB＝2sin，AD＝2sinα，AB＋AC＝AB＋2AD＝2sin(α＋)＋4sinα＝2(sinαcos＋cosαsin)＋4sinα＝5sinα＋cosα＝2sin(α＋θ)，其中θ为锐角，cosθ＝，sinθ＝，所以α＝－θ时，AB＋AC取得最大值2.答案：2.3．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＋c＝2b，2cos2B－8cosB＋5＝0，求角B的大小并判断△ABC的形状．解：因为2cos2B－8cosB＋5＝0，所以2(2cos2B－1)－8cosB＋5＝0.所以4cos2B－8cosB＋3＝0，即(2cosB－1)(2cosB－3)＝0.解得cosB＝或cosB＝(舍去)．因为0＜B＜π，所以B＝.因为a＋c＝2b.由正弦定理，得sinA＋sinC＝2sinB＝2sin＝.所以sinA＋sin＝，所以sinA＋sincosA－cossinA＝.化简得sinA＋cosA＝，所以sin＝1.因为0＜A＜，所以＜A＋＜，所以A＋＝.所以A＝，C＝.所以△ABC是等边三角形．
