1.1第1课时正弦定理A级基础巩固一、选择题1．在△ABC中，已知2B＝A＋C，则B＝()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：由2B＝A＋C⇒3B＝A＋B＋C＝180°，即B＝60°.答案：C2．在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝()A．4B．2C.D.解析：利用正弦定理解三角形．在△ABC中，＝，所以AC＝＝＝2.答案：B3．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB等于()A．－B.C．－D.解析：利用正弦定理：＝，＝，所以sinB＝，因为大边对大角(三角形中)，所以B为锐角，所以cosB＝＝.答案：D4．在△ABC中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是()A．a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCB．a＝b⇔sin2A＝sin2BC.＝D．正弦值较大的角所对的边也较大解析：在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝k(k>0)，则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC，故a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC，故A正确．当A＝30°，B＝60°时，sin2A＝sin2B，此时a≠b，故B错误．根据比例式的性质易得C正确．大边对大角，故D正确．答案：B5．在△ABC中，a＝bsinA，则△ABC一定是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解析：由正弦定理得：＝＝2R，由a＝bsinA得：2RsinA＝2RsinB·sinA，所以sinB＝1，所以B＝.答案：B二、填空题6．(2015·北京卷)在△ABC中，a＝3，b＝，∠A＝，则∠B＝________．解析：由正弦定理，得＝，即＝，所以sinB＝，所以∠B＝.答案：7．在△ABC中，已知a∶b∶c＝4∶3∶5，则＝________．解析：设a＝4k，b＝3k，c＝5k(k>0)，由正弦定理，得＝＝＝1.答案：18．在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2，则AB边上的高是________．解析：由正弦定理，＝，所以sinC＝＝＝，所以C＝60°或120°，(1)当C＝60°时，A＝90°，AB边上的高为2；(2)当C＝120°时，A＝30°，AB边上的高为2sin30°＝1.答案：1或2三、解答题9．在△ABC中，若acosA＝bcosB，试判断△ABC的形状．解：由正弦定理得，a＝2RsinA，b＝2RsinB，由acosA＝bcosB得，sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B.因为2A、2B∈(0，2π)，所以2A＝2B或2A＋2B＝π.即A＝B或A＋B＝，所以△ABC为等腰或直角三角形．10．在△ABC中，已知c＝10，＝＝，求a、b及△ABC的内切圆半径．解：由正弦定理知＝，所以＝.则sinAcosA＝sinBcosB，所以sin2A＝sin2B.又因为a≠b，所以2A＝π－2B，即A＋B＝.所以△ABC是直角三角形，且C＝90°，由得a＝6，b＝8.故内切圆的半径为r＝＝＝2.B级能力提升1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则的值为()A.B.C．1D.解析：因为＝，所以＝.因为3a＝2b，所以＝，所以＝，所以＝2－1＝2×－1＝－1＝.答案：D2．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sinB＝，C＝，则b＝________．解析：因为sinB＝，所以B＝或B＝.当B＝时，a＝，C＝，所以A＝，由正弦定理得，＝，则b＝1.当B＝时，C＝，与三角形的内角和为π矛盾．答案：13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A－C＝90°，a＋c＝b，求C.解：由A－C＝90°，得A为钝角且sinA＝cosC，利用正弦定理a＋c＝b可变形为sinA＋sinC＝sinB，又因为sinA＝cosC，所以sinA＋sinC＝cosC＋sinC＝sin(C＋45°)＝sinB，又A，B，C是△ABC的内角，故C＋45°＝B或(C＋45°)＋B＝180°(舍去)，所以A＋B＋C＝(90°＋C)＋(C＋45°)＋C＝180°，所以C＝15°.
