课时分层作业(十)向量应用(建议用时：40分钟)一、选择题1．若A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，则△ABC的形状为()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形C[AB＝(1，1)，AC＝(－3，3)，AB·AC＝0，即AB⊥AC，故△ABC为直角三角形．]2．河水的流速为2m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为()A．10m/sB．2m/sC．4m/sD．12m/sB[由题意知|v水|＝2m/s，|v船|＝10m/s，作出示意图如图．所以小船在静水中的速度大小|v|＝＝＝2(m/s)．]3．用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体，如图，已知物体重力大小为10N，则每根绳子的拉力大小是()A．5NB．8NC．10ND．12NC[因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都等于60°，故每根绳子的拉力大小都是10N．]4．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()A．重心B．外心C．内心D．垂心D[由OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，可得OA·OB－OB·OC＝0，(OA－OC)·OB＝0，即CA·OB＝0，CA⊥OB，同理可证OC⊥AB，OA⊥BC.所以O是△ABC的垂心，即三条高的交点．]5．等腰直角三角形ABC中，C＝90°，且A(－1，2)，C(1，1)，则B的坐标为()A．(2，－1)B．(0，－1)C．(2，3)D．(0，－1)或(2，3)D[设B的坐标为(x，y)，则CB＝(x－1，y－1)，又AC＝(2，－1)．由题意知|CB|＝|AC|，且CB·AC＝0，∴解得或]二、填空题6．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，AO＝(AB＋AC)，且|OA|＝|AB|，则BA·BC＝________.1[设BC的中点是D，如图所示，则AB＋AC＝2AD，则AD＝AO，所以O和D重合，所以BC是圆O的直径，所以∠BAC＝90°.又|OA|＝|AB|，则|BA|＝1，|BC|＝2，所以∠ABC＝60°，所以BA·BC＝|BA||BC|cos60°＝1×2×＝1.]7．如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，则对角线AC的长为________．[ AC＝AB＋AD，∴AC2＝AB2＋AD2＋2AB·AD，①又BD＝AD－AB，∴BD2＝AD2＋AB2－2AD·AB，②∴①＋②得AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．又AD＝1，AB＝2，BD＝2，∴AC＝.]8．当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为________．120°[如图，|F1|＝|F2|＝. |F1|＝|F2|＝|G|，∴2cos＝1，∴θ＝120°.]三、解答题9．如图在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF.求证：DP⊥EF.[证明]设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0
