课时分层作业(九)向量平行的坐标表示(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝()A．(－4，－8)B．(－8，－16)C．(4，8)D．(8，16)A[∵a∥b，∴m＋4＝0，∴m＝－4，∴b＝(－2，－4)，∴2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．]2．已知a＝(－1，x)与b＝(－x，2)共线，且方向相同，则实数x＝()A．1B．C．D．C[设a＝λb，则(－1，x)＝(－λx，2λ)，所以有解得或又a与b方向相同，则λ＞0，所以λ＝，x＝.]3．已知AB＝(6，1)，BC＝(x，y)，CD＝(－2，－3)，BC∥DA，则x＋2y的值为()A．－1B．0C．1D．2B[∵AD＝AB＋BC＋CD＝(6，1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝(x＋4，y－2)，∴DA＝－AD＝－(x＋4，y－2)＝(－x－4，－y＋2)．∵BC∥DA，∴x(－y＋2)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.]4．已知点A，B，则与向量AB方向相反的单位向量是()A．B．C．D．D[∵A，B，∴AB＝，则＝＝5，因此，与向量AB方向相反的单位向量是－＝－＝.故选D．]5．若a＝(2cosα，1)，b＝(sinα，1)，且a∥b，则tanα＝()A．1B．C．2D．C[∵a∥b，∴2cosα＝sinα，∴tanα＝2.]二、填空题6．已知点A(1，－2)，若线段AB的中点坐标为(3，1)，且AB与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________.[设B(x，y)，则由题意可知∴∴AB＝(4，6)．又AB∥a，∴4λ＝6，∴λ＝.]7．已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)．若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．m≠[若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即AB与AC不共线．∵AB＝OB－OA＝(3，1)，AC＝OC－OA＝(2－m，1－m)，∴3(1－m)≠2－m，即m≠.]8．已知两点M(7，8)，N(1，－6)，P点是线段MN的靠近点M的三等分点，则P点的坐标为________．[设P(x，y)，如图，∴MN＝3MP，∴(－6，－14)＝3(x－7，y－8)，∴解得]三、解答题9．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？(2)若AB＝2a＋3b，BC＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．[解](1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．∵ka－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－.(2)∵A，B，C三点共线，∴AB＝λBC，λ∈R，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，∴解得m＝.10．如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，求直线AC与BD交点P的坐标．[解]设P(x，y)，则DP＝(x－1，y)，DB＝(5，4)，CA＝(－3，6)，DC＝(4，0)．由B，P，D三点共线可得DP＝λDB＝(5λ，4λ)．又∵CP＝DP－DC＝(5λ－4，4λ)，由于CP与CA共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0，解之得λ＝，∴DP＝DB＝，∴P的坐标为.1．已知向量a＝(1，2)，b＝(0，1)，设u＝a＋kb，v＝2a－b，若u∥v，则实数k的值是()A．－B．－C．－D．－B[v＝2(1，2)－(0，1)＝(2，3)，u＝(1，2)＋k(0，1)＝(1，2＋k)．因为u∥v，所以2(2＋k)－1×3＝0，解得k＝－.]2.(多选题)已知向量OA＝(1，－3)，OB＝(2，－1)，OC＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是()A．－2B．C．1D．－1ABD[各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为AB＝OB－OA＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，AC＝OC－OA＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，则A，B，C三点即可构成三角形，故选ABD．]3．已知向量a＝(1，2)，b＝(1，0)，c＝(3，4)．若λ为实数，且(a＋λb)∥c，则λ等于________．[a＋λb＝(1，2)＋(λ，0)＝(1＋λ，2)，因为(a＋λb)∥c，所以4(1＋λ)－6＝0，故λ＝.]4．设a＝(6，3a)，b＝(2，x2－2x)，且满足a∥b的实数x存在，则实数a的取值范围是________．[－1，＋∞)[a∥b，∴6(x2－2x)－2×3a＝0，即a＝x2－2x，∴a＝(x－1)2－1≥－1.]5．已知向量a＝，b＝.(1)若a∥b，求的值；(2)若a⊥，求实数k的值；(3)若a与b的夹角是钝角，求实数k的取值范围．[解](1)因为向量a＝，b＝，且a∥b，所以1×k－2×＝0，解得k＝－6，所以＝＝3.(2)因为a＋2b＝，且a⊥，所以1×＋2×＝0，解得k＝.(3)因为a与b的夹角是钝角，则a·2b＜0且a与b不共线．即1×＋2×k＜0且k≠－6，所以k＜且k≠－6.
