课时分层作业(七)向量的坐标运算(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知向量i＝(1，0)，j＝(0，1)，对坐标平面内的任一向量a，下列选项中正确的是()A．存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)B．若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2C．若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点OD．若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)A[由平面向量基本定理，可知A正确；例如，a＝(1，0)≠(1，3)，但1＝1，故B错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故C错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故D错误．]2．已知点A＝，B＝，向量AC＝，则向量BC＝()A．B．C．D．A[依题意AB＝(2，2)，所以BC＝AC－AB＝(2，1)－(2，2)＝(0，－1)，故选A．]3．若向量BA＝(2，3)，CA＝(4，7)，则BC＝()A．(2，4)B．(2，－4)C．(－2，4)D．(－2，－4)D[BC＝BA＋AC＝BA－CA＝(2，3)－(4，7)＝(－2，－4)．]4．已知点A(－1，5)和向量a＝(2，3)，若AB＝3a，则点B的坐标为()A．(5，14)B．(5，4)C．(7，14)D．(7，4)A[设B点坐标为(x，y)，则AB＝(x＋1，y－5)， AB＝3a，∴(x＋1，y－5)＝3(2，3)＝(6，9)，∴∴]5．若向量a＝(x＋3，y－4)与AB相等，已知A(1，2)和B(3，2)，则x，y的值分别为()A．1，4B．－1，4C．1，－4D．－1，－4B[ AB＝(3，2)－(1，2)＝(2，0)＝(x＋3，y－4)，∴解得]二、填空题6．(一题两空)已知a＋b＝(1，3)，a－b＝(5，7)，则a＝____________，b＝________.(3，5)(－2，－2)[由a＋b＝(1，3)，a－b＝(5，7)，∴2a＝(1，3)＋(5，7)＝(6，10)，∴a＝(3，5)，2b＝(1，3)－(5，7)＝(－4，－4)，∴b＝(－2，－2)．]7.如图，已知O是坐标原点，点A在第二象限，|OA|＝2，∠xOA＝150°，则向量OA的坐标为________．(－，1)[过点A作AB⊥x轴于点B，作AC⊥y轴于点C，设A(x，y)，则x＝|OA|cos150°＝－，y＝|OA|sin150°＝1.所以OA的坐标为(－，1)．]8．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且MP＝MN，则P点的坐标为________．[设P(x，y)，则MP＝(x－3，y＋2)，MN＝(－8，1)＝，∴∴∴P点的坐标为.]三、解答题9．(1)已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与AB相等，其中A(1，2)，B(3，2)，求x的值；(2)已知点P1(2，－1)，P2(0，5)，点P在线段P1P2上且|P1P|＝2|PP2|，求P点的坐标．[解](1) AB＝(2，0)，又 a＝AB，∴∴x＝－1.(2)设P(x，y)，则P1P＝(x－2，y＋1)，PP2＝(－x，5－y)， 点P在线段P1P2上且|P1P|＝2|PP2|，∴P1P＝2PP2，∴∴∴P.10．已知四边形ABCD的顶点坐标为A，B，D，且AB＝λDC(λ>0)．(1)若点C在第一象限，求实数λ的取值范围；(2)若点M为直线AC外一点，且MP＝MA＋MC，问实数λ为何值时，点P恰为四边形ABCD对角线的交点．[解](1)因为A，B，所以AB＝，设点C的坐标为，则DC＝，而AB＝λDC(λ>0)，所以解得因为点C在第一象限，所以1<λ<.(2)由MP＝MA＋MC得2(MP－MA)＝3(MC－MP)，即2AP＝3PC，若点P恰为四边形ABCD对角线的交点且AB＝λDC(λ>0)，根据三角形相似得到AP＝λPC，所以λ＝.1．已知A(－3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝2，且∠AOC＝.设OC＝λOA＋OB(λ∈R)，则λ＝()A．B．C．D．B[过C作CE⊥x轴于点E，由∠AOC＝知，|OE|＝|CE|＝2，所以OC＝OE＋OB＝λOA＋OB，即OE＝λOA，所以(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝.]2．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为________．(0，2)[因为a在基底p，q下的坐标为(－2，2)，即a＝－2p＋2q＝(2，4)，令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，所以即所以a在基底m，n下的坐标为(0，2)．]3．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB＝(2，4)，AC＝(1，3)，则BD＝________.(－3，－5)[由向量的平行四边形法则可知AC＝AB＋AD，∴AD＝AC－AB＝(1，3)－(2，4)＝(－1，－1)，∴BD＝AD－AB＝(－1，－1)－(2，4)＝(－3，－5)．]4．已知向量集合M＝{a|a＝(1，2)＋λ1(3，4)，λ1∈R}，N＝{a|a＝(...
