课时作业36直线与平面垂直的性质知识点一直线与平面垂直的性质1.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．相交或平行答案B解析 圆柱的母线垂直于圆柱的底面，所作的垂线也垂直于底面，由线面垂直的性质定理可知，二者平行．2．直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD，直线m垂直于AD和BC，则l与m的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．不确定答案D解析根据题意，l⊥平面ABCD，m可能在平面ABCD内，也可能垂直平面ABCD，所以直线l与m可能平行、相交或异面，故选D.3．a，b是异面直线，直线l⊥a，l⊥b，直线m⊥a，m⊥b，则l与m的位置关系是________．答案l∥m解析将b平移至c，且使a与c相交，则a，c确定一个平面，记作平面α. l⊥b，m⊥b，∴l⊥c，m⊥c，又l⊥a，m⊥a，∴l⊥平面α，m⊥平面α，∴l∥m.4．如图所示，已知α∩β＝l，EA⊥α于A，EB⊥β于B，a⊂α，a⊥AB.求证：a∥l.证明 EA⊥α，EB⊥β，α∩β＝l，∴l⊥EA，l⊥EB.又 EA∩EB＝E，EA⊂平面EAB，EB⊂平面EAB，∴l⊥平面EAB.又a⊂α，EA⊥α，∴a⊥EA.又a⊥AB，AB∩EA＝A，AB⊂平面EAB，EA⊂平面EAB，∴a⊥平面EAB，∴a∥l.5．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.证明因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.又CD∩PD＝D，所以AE⊥平面PCD.因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.又MN⊥PC，PC∩CD＝C，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.知识点二平行、垂直关系的综合问题6.设a，b是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是()A．存在唯一一条直线l，使得l⊥a，且l⊥bB．存在唯一一条直线l，使得l∥a，且l⊥bC．存在唯一一个平面α，使得a⊂α，且b∥αD．存在唯一一个平面α，使得a⊂α，且b⊥α答案C解析过直线a上任意一点P，作b的平行线c，由a，c相交确定一个平面α.直线l只需垂直于平面α，就会与a，b都垂直，这样的直线有无数条，故A错误．根据异面两条直线所成角的定义，排除B.根据线面垂直的概念，排除D.故选C.7．给出下列命题：①a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；②a⊥α，a∥b⇒b⊥α；③a⊥α，b∥α⇒a⊥b；④a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α⇒a⊥α；⑤a∥α，a⊥b⇒b⊥α；⑥a⊥α，b⊥a⇒b∥α.其中真命题的个数是()A．3B．4C．5D．6答案A解析因为a⊥α，所以a垂直于平面α内的任意直线，所以①正确．若两条平行线中的一条直线与一个平面垂直，则另一条直线也与这个平面垂直，所以②正确．由线面垂直，线线、线面平行的性质知，若a⊥α，b∥α，则a⊥b，所以③正确．由线面垂直的判定定理可知，④不正确．当a∥α，a⊥b时，b可能与α平行、垂直、斜交或b在α内，所以⑤不正确．当a⊥α，b⊥a时，b可能与α平行，b也可能在α内，故⑥不正确．一、选择题1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．不确定答案B解析 △ABC所在平面为α，l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，∴l⊥α，又m⊥BC，m⊥AC，BC∩AC＝C，∴m⊥α，∴l∥m.2．在△ABC所在的平面α外有一点P，且PA＝PB＝PC，则P在α内的射影是△ABC的()A．垂心B．内心C．外心D．重心答案C解析设P在平面α内的射影为O，易证△PAO≌△PBO≌△PCO⇒AO＝BO＝CO.3．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l答案D解析由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则交线平行于l，故选D.4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的大小()A．变大B．变小C．不变D．有时变大有时变小答案C解析 直线l⊥平面ABC，∴l⊥BC.又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∴BC...
