课时作业19复数的乘、除运算知识点一复数的乘法运1.设复数z＝1＋i，则z2－2z等于()A．－3B．3C．－3iD．3i答案A解析z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝1＋2i－2－2－2i＝－3.2．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为()A．6－4iB．－6－4iC．6＋4iD．－6＋4i答案D解析(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.3．若z(1＋i)＝2i，则z＝()A．－1－iB．－1＋iC．1－iD．1＋i答案D解析由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝＝i(1－i)＝1＋i.故选D.知识点二复数的除法运算4.在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案B解析＋(1＋i)2＝i＋＋1－3＋2i＝－＋i，对应点在第二象限．5．若z＝，则复数z＝()A．－2－iB．－2＋iC．2－iD．2＋i答案D解析z＝2＋＝2－i，z＝2＋i.故选D.6．若复数(a∈R，i是虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为()A．－2B．4C．－6D．6答案C解析∵＝＝为纯虚数，∴∴a＝－6.7．复数z满足(1＋i)z＝|i|，其中i为虚数单位，则z的实部与虚部之和为()A．1B．0C.D.答案B解析由(1＋i)z＝|i|＝1，得z＝＝＝－i，∴z的实部与虚部分别为，－，和为0.故选B.8．设z的共轭复数是z，若z＋z＝4，z·z＝8，则等于()A．iB．－iC．±1D．±i答案D解析令z＝x＋yi(x，y∈R)，则得或不难得出＝±i.故选D.9．复数z＝的共轭复数是()A．1－iB．1＋iC．－1＋iD．－1－i答案D解析z＝＝＝＝－1＋i，所以其共轭复数为z＝－1－i.选D.知识点三虚数单位i的幂的周期性10.已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i，则z＝－z1z2＋i5在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案A解析因为z1＝＋i，z2＝－＋i，所以z＝－＋i5＝1＋i，所以复数z在复平面内对应的点为(1,1)，位于第一象限．故选A.11．已知复数z＝，则复数z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案A解析i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0，i5＋i6＋i7＋i8＝i＋i2＋i3＋i4＝0，所以i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2021＝i.所以z＝＝＝＋i，所以对应点在第一象限，故选A.12．已知复数z满足(1＋i)z＝1－3i(i是虚数单位)．(1)求复数z的虚部；(2)若复数(1＋ai)z是纯虚数，求实数a的值；(3)若复数z的共轭复数为z，求复数的模．解(1)由(1＋i)z＝1－3i，得z＝＝＝＝－1－2i，∴复数z的虚部为－2.(2)(1＋ai)z＝(1＋ai)(－1－2i)＝2a－1－(2＋a)i，∵复数(1＋ai)z是纯虚数，∴解得a＝.∴实数a的值为.(3)由z＝－1－2i，得z＝－1＋2i.则＝＝＝＝－1－i，∴|z|＝＝.∴复数的模为.一、选择题1．已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝()A．－2－iB．－2＋iC．2－iD．2＋i答案C解析z－1＝＝1－i，∴z＝2－i.2．(1＋i)20－(1－i)20的值是()A．－1024B．1024C．0D．512答案C解析(1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.3．已知(i为虚数单位)为纯虚数，则实数a＝()A．1B．2C．－1D．－2答案A解析因为＝＝为纯虚数，所以1－a＝0且1＋a≠0，得a＝1.4．若a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝()A．2B.C.D．1答案B解析∵＝(a＋i)(－i)＝1－ai，∴＝|1－ai|＝＝2，解得a＝或a＝－(舍去)．5．若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于()A．{－1}B．{1}C．{1，－1}D．∅答案C解析因为A＝{i，－1，－i,1}，B＝{1，－1}，所以A∩B＝{1，－1}．二、填空题6．已知复数z＝，z是z的共轭复数，则z的模等于________．答案1解析由z＝＝＝＝－i，得|z|＝|z|＝|－i|＝1.7．若z＝cosθ＋isinθ(i为虚数单位)，则使z2＝－1的θ＝________.答案＋kπ，k∈Z解析z2＝(cosθ＋isinθ)2＝cos2θ－sin2θ＋2isinθcosθ＝cos2θ＋isin2θ＝－1.于是所以2θ＝π＋2kπ，k∈Z，所以θ＝＋kπ，k∈Z.8．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．答案解析＝＝＝＝，∵为纯虚数，∴∴a＝.三、解答题9．计算＋2020＋.解原式＝＋1010＋＝i＋(－i)1010＋＝i－1＋0＝－1＋i.10．满足z＋是实数，且z＋3的实部与虚部互为相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由．解存在．设虚数z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)，则z＋＝x＋yi＋＝x＋＋i.由已知得∵y≠0，∴解得或∴存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足以上条件．
