课时分层作业(三十五)三角函数的周期性(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列函数中，周期为的是()A．y＝sinB．y＝sin2xC．y＝cosD．y＝tan(－4x)D[A项，T＝＝4π；B项，T＝＝π；C项，T＝＝8π；D项，T＝＝．]2．下列是定义在R上的四个函数的图象的一部分，其中不是周期函数的是()D[根据周期函数图象特征可知A、B、C都是周期函数，D不是周期函数．]3．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝()A．1B．－1C．3D．－3B[∵f(x＋5)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，∴f(3)＝f(3－5)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，f(4)＝f(4－5)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，∴f(3)－f(4)＝－2＋1＝－1．]4．函数y＝sin的周期不大于4，则正整数k的最小值为()A．2B．3C．4D．5C[由T＝得T＝＝．∵T≤4，∴≤4，∴k≥π，∴正整数k的最小值为4．]5．设函数f(x)(x∈R)是以π为最小正周期的周期函数，且当x∈时，f(x)＝sinx；当x∈时，f(x)＝cosx，则f＝()A．－B．C．D．－A[∵T＝π，x∈时，f(x)＝cosx，∴f＝f＝f＝cos＝cos＝－cos＝－．]二、填空题6．对于任意的x∈R都有f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的一个周期为________．2(答案不唯一)[由周期函数的定义知f(x)的一个周期为2．]7．若函数f(x)＝2cos的最小正周期为T，且T∈(1,3)，则正整数ω的最大值是________．6[T＝，又T∈(1,3)，∴1<<3，又ω∈N*，则ω＝3,4,5,6，∴ω的最大值为6．]8．已知函数f(x)对于任意x∈R满足条件f(x＋3)＝，且f(1)＝，则f(2020)＝________．2[∵f(x＋3)＝，∴f(x＋6)＝＝f(x)，∴f(x)的周期T＝6，∴f(2020)＝f(336×6＋4)＝f(4)．又f(4)＝f(1＋3)＝＝2，∴f(2020)＝2．]三、解答题9．已知函数y＝f(x)是定义在R上周期为4的奇函数．(1)求f(4)的值；(2)若－2≤x≤－1时，f(x)＝sin＋1，求2≤x≤3时，f(x)的解析式．[解](1)∵函数y＝f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(4)＝f(4＋0)＝f(0)＝0．(2)设2≤x≤3，则－2≤－4＋x≤－1，∴f(－4＋x)＝sin＋1＝sinx＋1，∴f(x)＝f(－4＋x)＝sinx＋1．10．若单摆中小球相对静止位置的位移x(cm)随时间t(s)的变化而周期性变化，如图所示，请回答下列问题：(1)单摆运动的周期是多少？(2)从O点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？(3)当t＝11s时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？[解](1)从题图可以看出，单摆运动的周期是0．4s．(2)若从O点算起，到曲线上的D点表示完成了一次往复运动；若从A点算起，到曲线上的E点表示完成了一次往复运动．(3)11＝0．2＋0．4×27，所以小球经过11s相对于静止位置的位移是0cm．1．已知函数f(x)＝sin，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2021)＝()A．B．－C．－D．0D[f(x)的周期T＝＝6，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝sin＋sin＋sinπ＋sin＋sin＋sin2π＝0．原式＝336[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0．故选D．]2．设函数f(x)＝3sin，ω>0，x∈(－∞，＋∞)，且以为最小正周期．若f＝，则sinα的值为()A．B．或－C．D．或－D[∵f(x)的最小正周期为，ω>0，∴ω＝＝4．∴f(x)＝3sin．由f＝3sin＝3cosα＝，∴cosα＝．∴sinα＝±＝±．]3．函数y＝2cos(ω＜0)的最小正周期为4π，则ω＝________．－[由周期公式可知4π＝⇒|ω|＝，由ω＜0，可知ω＝－．]4．欲使函数y＝Asinωx(A>0，ω>0)在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，则ω的最小值为________．[函数y＝Asinωx的最小正周期为，因为在每一个周期内，函数y＝Asinωx(A>0，ω>0)都只有一个最小值，要使函数y＝Asinωx在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，则y在区间[0,1]内至少含49个周期，即解得ω≥，所以ω的最小值为．]5．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝－(f(x)≠0)．(1)求证：函数f(x)是周期函数；(2)若f(1)＝－5，求f(f(5))的值．[解](1)证明：∵f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝－＝－＝f(x)，∴f(x)是周期函数，4就是它的一个周期．(2)∵4是f(x)的一个周期，∴f(5)＝f(1)＝－5，∴f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)＝－＝－＝．
