课时分层作业(三十四)三角函数的诱导公式(五～六)(建议用时：40分钟)一、选择题1．如果cosα＝，且α是第四象限角，那么cos＝()A．B．－C．D．－C[由已知得，sinα＝－＝－，所以cos＝－sinα＝－＝．]2．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝()A．89B．90C．D．45C[∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，…，∴sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos23°＋cos22°＋cos21°＝44＋＝．故选C．]3．已知cos(75°＋α)＝，且－180°<α<－90°，则cos(15°－α)＝()A．B．－C．D．－D[因为cos(75°＋α)＝，且－180°<α<－90°，所以sin(75°＋α)＝－，故cos(15°－α)＝cos[90°－(75°＋α)]＝sin(75°＋α)＝－．]4．已知cos31°＝m，则sin239°tan149°的值是()A．B．C．－D．－B[sin239°tan149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin59°(－tan31°)＝－sin(90°－31°)·(－tan31°)＝－cos31°·(－tan31°)＝sin31°＝＝．]5．若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cos30°)＝()A．B．C．D．B[f(cos30°)＝f(sin60°)＝3－cos120°＝3＋cos60°＝或f(cos30°)＝f(sin120°)＝3－cos240°＝3－cos120°＝．]二、填空题6．代数式sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)的化简结果是________．1[∵(A＋45°)＋(45°－A)＝90°，∴sin(45°－A)＝cos(45°＋A)，∴sin2(A－45°)＝sin2(45°－A)＝cos2(45°＋A)，∴sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)＝1．]7．已知tanθ＝2，则＝________．－2[＝＝＝＝＝－2．]8．在△ABC中，sin＝3sin(π－A)，且cosA＝－cos(π－B)，则C＝________．[由已知得cosA＝3sinA，∴tanA＝，又∵A∈(0，π)，∴A＝．又cosA＝－(－cosB)＝cosB，由cosA＝知cosB＝，∴B＝，∴C＝π－(A＋B)＝．]三、解答题9．已知cos＝2sin，求的值．[解]∵cos＝2sin，∴－sinα＝－2cosα，∴tanα＝2，∴＝＝＝＝＝＝＝＝－．10．是否存在这样的△ABC,使等式sin(2π－A)－cos＝0，cos(3π＋B)＋sin(＋A)＝0同时成立？若存在，求出A，B的值；若不存在，请说明理由．[解]假设存在这样的△ABC满足条件．由已知条件可得由①2＋②2，得sin2A＋3cos2A＝2．所以sin2A＝，因为A∈(0，π)，所以sinA＝．由②知A，B只能为锐角，所以A＝．由②式知cosB＝，又B∈(0，π)，所以B＝．所以存在这样的△ABC，A＝，B＝满足条件．1．已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin2，－2cos2)，则α等于()A．2B．－2C．2－D．－2C[由条件可知点P到原点的距离为2，所以P(2cosα，2sinα)，所以根据诱导公式及α为锐角可知，所以α＝2－．故选C．]2．已知cos＝－，α是第二象限角，则sin＝()A．－B．C．－D．C[∵cos＝－sinα＝－，∴sinα＝．又α是第二象限角，∴cosα＝－，∴sin＝sin＝sin＝cosα＝－．]3．已知sinα＋cosα＝－，则tan＋的值为_______．－2[因为sinα＋cosα＝－，所以(sinα＋cosα)2＝2，所以sinαcosα＝．所以tan＋＝＋＝＋＝－－＝－＝－2．]4．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使得等式sin(3π－α)＝－cos与cos(－α)＝－sin同时成立？[解]存在．所需成立的两个等式可化为sinα＝sinβ，cosα＝cosβ，两式两边分别平方相加得：sin2α＋3cos2α＝2，得2cos2α＝1，所以cos2α＝．又因为α∈，所以α＝或－．当α＝时，由cosα＝cosβ，得cosβ＝，又β∈(0，π)，所以β＝；当α＝－时，由sinα＝sinβ，得sinβ＝－，而β∈(0，π)，所以无解．综上得，存在α＝，β＝使两等式同时成立．
