课时作业4向量的数乘运算知识点一向量数乘运算的概念及运算律1.已知λ∈R，则下列结论正确的是()A．|λa|＝λ|a|B．|λa|＝|λ|·aC．|λa|＝|λ|·|a|D．|λa|>0答案C解析当λ<0时，|λa|＝λ|a|不成立，A错误；|λa|是一个非负实数，而|λ|a是一个向量，B错误；当λ＝0或a＝0时，|λa|＝0，D错误．故选C.2．若a，b为已知向量，且(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，则c＝________.答案b－a解析 (4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，∴a－2c＋15c－12b＝0，∴13c＝12b－a，∴c＝b－a.3．化简下列各式：(1)3(2a－b)－2(4a－2b)；(2)(4a＋3b)－(3a－b)－b；(3)2(3a－4b＋c)－3(2a＋b－3c)．解(1)原式＝6a－3b－(8a－4b)＝－2a＋b.(2)原式＝a＋b－a＋b－b＝－a.(3)原式＝6a－8b＋2c－6a－3b＋9c＝－11b＋11c.知识点二向量的线性运算4.在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ＝()A.B.C.D.答案B解析由AD＝2DB，得CD－CA＝2(CB－CD)⇒CD＝CA＋CB，所以λ＝.5．已知O是直线AB外一点，C，D是线段AB的三等分点，且AC＝CD＝DB.如果OA＝3e1，OB＝3e2，那么OD等于()A．e1＋2e2B．2e1＋e2C.e1＋e2D.e1＋e2答案A解析如图所示，OD＝OA＋AD＝OA＋AB＝OA＋(OB－OA)＝OA＋OB＝e1＋2e2，应选A.6．已知点C在线段AB上，且＝，则AC＝____AB.答案解析如图，因为＝，且点C在线段AB上，则AC与CB同向，且|AC|＝|CB|，故AC＝AB.7．如图所示，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝3CD，若AB＝a，AD＝b，试用a，b表示向量AC.解因为AB∥CD，且AB＝3CD，所以AB＝3DC，DC＝AB＝a，所以AC＝AD＋DC＝b＋a.知识点三共线问题8.设两个不共线的向量e1，e2，若a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，问是否存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb与c共线？解d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d与c共线，则存在实数k，使得d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2.由得λ＝－2μ.故存在实数λ和μ，使得d与c共线，此时λ＝－2μ.9．已知：AD＝3AB，AE＝3AC，且B，C，D，E不共线．求证：BC∥DE.证明 AD＝3AB，AE＝3AC，∴DE＝AE－AD＝3AC－3AB＝3(AC－AB)＝3BC.∴BC与DE共线．又 B，C，D，E不共线．∴BC∥DE.易错点用已知向量表示未知向量时，考虑问题不全面致误10．在三角形ABC中，点D为BC的三等分点，设向量a＝AB，b＝AC，用向量a，b表示AD＝________.易错分析本题出错的原因是忽视了三等分点是两种情况，应有BD＝BC或BD＝BC.解题时条件转化要全面准确．答案a＋b或a＋b正解因为D为BC的三等分点，当BD＝BC时，如图1，所以AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b.当BD＝BC时，如图2，所以AD＝AB＋BD＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b.一、选择题1．给出下面四个结论：①对于实数m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb；②对于实数m，n和向量a，恒有(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb(m∈R)，则a＝b；④若ma＝na(m，n∈R，a≠0)，则m＝n.其中，正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4答案C解析①和②属于向量数乘运算的分配律，正确；③中，当m＝0时，ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故③不正确；④正确，因为由ma＝na，得(m－n)a＝0，又因为a≠0，所以m－n＝0，即m＝n.2．已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是()①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e；②存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0；③xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)；④已知梯形ABCD，其中AB＝a，CD＝b.A．①②B．①③C．②D．③④答案A解析由2a－3b＝－2(a＋2b)得到b＝－4a，故①可以；λa－μb＝0，λa＝μb，故②可以；x＝y＝0，有xa＋yb＝0，但b与a不一定共线，故③不可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故④不可以．3．已知向量a与b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，则λ的值等于()A.B．－C．－D.答案C解析 b＝λa，∴|b|＝|λ||a|.又a与b反向，∴λ＝－.4．已知P是△ABC所在平面内一点，若CB＝λPA＋PB，其中λ∈R，则点P一定在()A．△ABC的内部B．AC边所在的直线上C．AB边所在的直线上D．BC边所在的直线上答案B解析因为CB＝λPA＋PB⇔CB－PB＝λPA⇔CP＝λPA，所以点P在AC边所在的直线上...
