第2课时对数函数及其性质的应用[学生用书P114(单独成册)])[A基础达标]1.若loga2<logb2<0,则下列结论正确的是()A.0<a<b<1B.0<b<a<1C.a>b>1D.b>a>1解析:选B.因为loga2<0,logb2<0,所以0<a<1,0<b<1,又loga2<logb2,所以a>b,故0<b<a<1.2.函数f(x)=|logx|的单调递增区间是()A.B.(0,1]C.(0,+∞)D.[1,+∞)解析:选D.f(x)的图象如图所示,由图象可知单调递增区间为[1,+∞).3.函数y=log(1-3x)的值域为()A.(-∞,+∞)B.(-∞,0)C.(0,+∞)D.(1,+∞)解析:选C.因为3x>0,所以-3x<0,所以1-3x<1.又y=logt(t=1-3x)是关于t的减函数所以y=logt>log1=0.选C.4.函数y=f(x)=lg的图象的对称性为()A.关于直线y=x对称B.关于x轴对称C.关于y轴对称D.关于原点对称解析:选D.因为y=f(x)=lg=lg,所以f(-x)=lg=-lg=-f(x),又因为函数的定义域为(-1,1),关于原点对称,则函数为奇函数,所以函数图象关于原点对称.若lg(2x-4)≤1,则x的取值范围是________.解析:由lg(2x-4)≤1得lg(2x-4)≤lg10,所以0<2x-4≤10,解之得2<x≤7.答案:(2,7]6.函数f(x)=logax(0<a<1)在[a2,a]上的最大值是________.解析:因为0<a<1,所以f(x)=logax在[a2,a]上是减函数,所以f(x)max=f(a2)=logaa2=2.答案:27.已知函数f(x)=lg(2x-b)(x≥1)的值域是[0,+∞),则b的值为________.解析:因为x≥1,所以f(x)≥lg(2-b).又因为f(x)≥0,lg(2-b)=0,即b=1.答案:18.设a>1,函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为,则a=________.解析:因为a>1,所以f(x)=logax在[a,2a]上递增,所以loga(2a)-logaa=,即loga2=,所以a=2,a=4.答案:49.根据下列条件,分别求实数x的值:(1)log2(2-x)=log2(x-1)+1;(2)32x+1-6x=22x+2.解:(1)原方程可化为log2(2-x)=log2[2(x-1)],得2-x=2(x-1),解得x=.经检验知,原方程的解为x=.(2)原方程可化为3×32x-2x×3x-4×22x=0,因式分解得(3×3x-4×2x)(3x+2x)=0,则3×3x-4×2x=0,即=,解得x=log.10.已知f(x)=loga(a-ax)(a>1).(1)求f(x)的定义域和值域;(2)判断并证明f(x)的单调性.解:(1)由a>1,a-ax>0,即a>ax,得x<1.故f(x)的定义域为(-∞,1).由0<a-ax<a,可知loga(a-ax)<logaa=1.故函数f(x)的值域为(-∞,1).(2)f(x)在(-∞,1)上为减函数,证明如下:任取1>x1>x2,因为a>1,所以ax1>ax2,所以a-ax1<a-ax2,所以loga(a-ax1)<loga(a-ax2),即f(x1)<f(x2),故f(x)在(-∞,1)上为减函数.[B能力提升]若函数f(x)=loga(2x+1)(a>0,且a≠1)在区间内恒有f(x)>0,则a的取值范围是________.解析:函数f(x)=loga(2x+1)的定义域为,当x∈时,2x+1∈(0,1),由题意知0<a<1.答案:0
1,则a应满足的条件是________.解析:若01,当x≥2时,logax>0,所以logax>1.由题意loga2>1,所以a∈(1,2).综上可知