第3章三角恒等变换滚动训练五(§3.1～§3.3)一、填空题1．cos555°＝________.答案－解析cos555°＝cos(720°－165°)＝cos165°＝－cos15°＝－cos45°cos30°－sin45°sin30°＝－.2．sin220°＋sin80°·sin40°的值为________．答案解析原式＝sin220°＋sin(60°＋20°)·sin(60°－20°)＝sin220°＋(sin60°cos20°＋cos60°sin20°)·(sin60°·cos20°－cos60°sin20°)＝sin220°＋sin260°cos220°－cos260°sin220°＝sin220°＋cos220°－sin220°＝sin220°＋cos220°＝.3．在△ABC中，若tanAtanB＞1，则△ABC是________三角形．答案锐角解析∵A，B是△ABC的内角，且tanAtanB＞1，得角A，B均为锐角，然后切化弦，得sinAsinB＞cosAcosB，即cos(A＋B)＜0，∴cos(π－C)＜0，∴－cosC＜0，∴cosC＞0，∴角C为锐角，∴△ABC是锐角三角形．4．已知f(x)＝sin2，若a＝f(lg5)，b＝f，则a＋b＝________.答案1解析f(x)＝sin2＝＝，∵a＝f(lg5)，b＝f＝f(－lg5)，∴a＋b＝＋＝1.5．y＝sin－sin2x，x∈[0，π]的单调增区间为________．答案解析y＝sin－sin2x＝sin2xcos－cos2xsin－sin2x＝－sin2x－cos2x＝－sin.y＝－sin的单调增区间是y＝sin的单调减区间，令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，∴＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，令k＝0，得x∈.6．若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos＝________.答案解析∵0<α<，∴<α＋<.∵cos＝，∴sin＝.∵－<β<0，∴<－<.∵cos＝，∴sin＝.∴cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝.7．已知函数f(x)＝cos，则f(x)在[0，π]上的单调增区间为________．答案解析f(x)＝cos＝sinx＋＝sin＋.由2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，可得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.当k＝0时，函数f(x)的单调增区间为.又x∈[0，π]，所以f(x)在[0，π]上的单调增区间为.8．化简··＝________.答案tan解析原式＝··＝·＝·＝＝tan.9．若sin(π－α)＝，α∈，则sin2α－cos2的值为________．答案解析∵sin(π－α)＝，∴sinα＝，又∵α∈，∴cosα＝＝，因此，sin2α－cos2＝2sinαcosα－(1＋cosα)＝2××－×＝－＝.10.＝________.答案－4解析原式＝＝＝＝＝＝－4.11．函数y＝sin2x－2sinxsin＋sin的图象的对称中心是____________．答案(k∈Z)解析∵y＝sin2x－2sinxsin＋sin＝sin2x－2sinx－1＝－sinxcosx－1＝－sin2x－1.令2x＝kπ(k∈Z)，得x＝(k∈Z)．∴该函数的对称中心为(k∈Z)．二、解答题12．已知cos＝，≤α≤，求的值．解由cos＝，得cosα－sinα＝，解方程组得或∵≤α≤，∴cosα≤0，∴∴tanα＝7，∴＝＝＝－.13．已知向量m＝(cosx，sinx)，n＝(2＋sinx，2－cosx)，函数f(x)＝m·n，x∈R.(1)求函数f(x)的最大值；(2)若x∈且f(x)＝1，求cos的值．解(1)因为f(x)＝m·n＝cosx(2＋sinx)＋sinx·(2－cosx)＝2(sinx＋cosx)＝4sin(x∈R)，所以f(x)的最大值是4.(2)因为f(x)＝1，所以sin＝.又因为x∈，即x＋∈.所以cos＝－.cos＝cos＝coscos－sinsin＝－×－×＝－.三、探究与拓展14．函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx＋1的最小正周期是________，单调减区间是__________．答案π(k∈Z)解析由题意，知f(x)＝＋sin2x＋1＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，所以最小正周期T＝π.令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，故单调减区间为(k∈Z)．15．设f(x)＝4cossinωx－cos(2ωx＋π)，其中ω＞0.(1)求函数y＝f(x)的值域；(2)若f(x)在区间上为单调增函数，求ω的最大值．解(1)f(x)＝4sinωx＋cos2ωx＝2sinωxcosωx＋2sin2ωx＋cos2ωx－sin2ωx＝sin2ωx＋1(ω＞0)．因为－1≤sin2ωx≤1，所以函数y＝f(x)的值域为[1－，1＋]．(2)因为y＝sinx在闭区间(k∈Z)上为单调增函数，所以f(x)＝sin2ωx＋1(ω＞0)在闭区间(k∈Z)上为单调增函数．依题意，知⊆对某个k∈Z成立，此时必有k＝0，于是解得0＜ω≤，故ω的最大值为.
