高中数学第3章三角恒等变换3.3几个三角恒等式课后导练苏教版必修4基础达标1.下列等式中不正确的是()A.sinαcosβ=［sin（α+β）+sin(α-β)］B.cosαsinβ=［sin(α+β)-sin(α-β)］C.cosαcosβ=［cos(α+β)+cos(α-β)］D.sinαsinβ=［cos(α+β)-cos(α-β)］解析：由积化和差公式知D中符号出错.答案：D2.当tan≠0时，tan的值与sinα的值()A.同号B.异号C.有时同号有时异号D.sinα可能为零解析：由tan=知在1-cosα＞0的条件下，tan与sinα同号.答案：A3.已知180°＜α＜360°,则cos的值等于()A.B.C.D.解析：因180°＜α＜360°，∴90°＜＜180°,∴cos＜0，由cos2α=2cos2α-1变形知选C.答案：C4.函数y=sin(x+)+sin(x-)的最大值是()A.2B.1C.D.解析：∵sin(x+)+sin(x-)=2sinxcos=sinx，∴最大值为1.答案：B5.函数y=5cosα+12sinα的值域是()A.［-17，17］B.［-12,12］C.［-13,13］D.［-7,7］解析：y=5cosα+12sinα=13(cosα+sinα)=13sin(α+φ)因α+φ∈R，∴sin(α+φ)∈［-1,1］∴y∈［-13,13］.答案：C6.函数y=sinx+cosx的图象的一个对称中心()A.（,）B.(,-)C.(-,0)D.(,1)解析：y=sinx+cosx=sin(x+)代入选项检验知C正确.答案：C7.已知cosθ=-,3π＜θ＜,则tan=_____________.解析：∵θ∈(3π,)，∴∈(,7)，∴tan＜0,∴tan=.答案：-28.(2005全国高考Ⅱ)设α为第四象限的角，若，则tan2α=________________.解：=2cos2α+cos2α=.∴(1+cos2α)+cos2α=，解得cos2α=.∵2kπ-＜α＜2kπ,∴4kπ-π＜2α＜4kπ(k∈Z).∴sin2α==.∴tan2α=.答案：9.已知f(x)=.若α∈(,π),化简f(cosα)+f(-cosα).解：f(cosα)+f(-cosα)===10.已知sin（α+β）=,sin(α-β)=,求的值.解：由已知，得解得原式=综合运用11.若sinα-cosα=Asin(α+φ)，则A和φ的可能值分别为()A.2，B.2,-C.-2,D.-2,-解析：∵sinα-cosα=2(sinα-cosα)=2sin(α-)=Asin(α+φ)，∴A=2,φ=-.答案：B12.函数y=sin（-2x）+sin2x的最小正周期是()A.2πB.πC.D.4π解析：∵y=sin(-2x)+sin2x=cos2x-sin2x+sin2x=cos2x+sin2x=sin(2x+),∴T==π.答案：B13.若x2+y2=4，则x2+y2+xy的最大值为_____________.解析：∵x2+y2=4,则令∴x2+y2+xy=4+4sinθ·cosθ=4+2sin2θ，当sin2θ=1时，x2+xy+y2有最大值6.答案：614.化简cos2A+cos2(A+)+cos2(A-)的结果是_______________.解析：原式=+cos2A+cos(2A+)+cos(2A-)=.答案：15.若函数f(x)=acosx+b(a＞0)的最大值为1，最小值为-7，求函数g(x)=acosx+bsinx的最大值.解：当cosx=1时，f(x)max=a+b=1.当cosx=-1时，f(x)min=-a+b=-7.解得a=4，b=-3.∴g(x)=4cosx-3sinx=-5(sinx-cosx)=-5sin(x-φ),其中cosφ=,sinφ=.∴当sin（x-φ）=-1时，g(x)max=5.拓展探究16.如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形.B是上一动点，OABC是扇形的内接矩形.E是上一动点，CFED是CBQ的内接矩形.（1）求矩形OABC面积S1的最大值；（2）当S1最大时，设∠EOP=β,求矩形CFED面积S2关于β的函数解析式S2=f(β).解：(1)设∠BOP=α,则AB=sinα,OA=cosα.∴S1=AB·OA=sinα·cosα=sin2α(0＜α＜).∴当α＝,即B为中点时，S1有最大值.（2）设∠EOP=β(＜β＜),则EF=EG-GF=sinβ-AB=sinβ-sin=sinβ-.CF=OG=cosβ,∴S2=EF·CF=(sinβ-)·cosβ=sinβcosβ-cosβ(＜β＜).即S2=f(β)=sin2β-cosβ(＜β＜).
