高中数学第3章三角恒等变换3.3几个三角恒等式课堂导学苏教版必修4三点剖析1.三角函数恒等式应用举例【例1】运用三角函数变换证明tan=.思路分析：由于角不一致，首先应统一角度，即运用倍角公式设法将tan变成角α的三角函数.证明：tan==.tan==∴tan=成立.温馨提示这组公式的结构特征是用cosα与sinα表示的正切值，可称为半角公式.2．三角函数变换的应用【例2】将下列各式化简为Asin(ωx+φ)的形式：（1）cosx-sinx；(2)3sinx+cosx；(3)3sinx-4cosx；(4)asinx+bcosx(ab≠0).思路分析：本题主要考查两角和（差）的正余弦公式的恒等变形.解：（1）cosx-sinx=-(sinx-cosx)=(sinx-cosx)=(sinxcos-cosxsin)=sin(x-).本题化简结果不唯一，也可这样变换：cosx-sinx=(cosx-sinx)=(sinxcos+cosxsin)=sin(x+).（2）3sinx+cosx=2(sinx+cosx)=2(sinxcos+cosxsin)=2sin(x+).(3)3sinx-4cosx=5(sinxcosx)令cosφ=，φ为第一象限角，则sinφ=.∴3sinx-4cosx=5(sinxcosφ-cosxsinφ)=5sin(x-φ).（4）asinx+bcosx=(sinx+cosx)=(sinxcosφ+cosxsinφ)=sin(x+φ).其中cosφ=,sinφ=.温馨提示形如asinx+bcosx的式子均可化成·sin(x+φ)的形式，这种变换的主要功能是把asinx+bcosx形的三角函数式表示成一个角的一个三角函数，这样做有利于研究f(x)=asinx+bcosx的图象和性质，或化简、求最值问题.3.在解题过程中怎样选择合适的公式【例3】已知函数f(x)=2asinxcosx+2bcos2x,且f(0)=8，f()=6+.求a,b的值及f(x)的周期和最大值.解：∵f(0)=2asin0cos0+2bcos20=2b=8,∴b=4.又f()=2asincos+2bcos2=a+b=a+6=6+.∴a=3.∴f(x)=3sin2x+4cos2x+4=5(sin2x+φ)+4(其中cosφ=,sinφ=),∴f(x)的周期是T==π.当sin（2x+φ）=1时，f(x)最大值=9.温馨提示当f(x)的解析式中有待定常数a，b时，可根据条件列关于a，b的两个条件等式，再通过解方程组求出a，b;求f(x)的周期和最值，通常需把f(x)化成Asin（ωx+φ）+k的形式.本例中（2）问是根据方程根的意义得到两个三角等式，再通过三角变换变出所需要的式子.各个击破类题演练1已知cosθ=，且θ∈（0，），求tan.解：∵θ∈（0，），∴θ[]2∈(0,)，∴tan＞0，∴tan=变式提升1求证：（1）sinαcosβ=［sin（α+β）+sin(α-β)］;(2)sinθ+sinφ=2sincos.证明：（1）因为sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.将以上两式的左右两边分别相加，得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ,即sinα·cosβ=［sin（α+β）+sin(α-β)］.（2）由（1）可得，sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ（*）设α+β=θ,α-β=φ,那么α=,β=.把α,β的值代入（*），得sinθ+sinφ=2sincos.温馨提示本例是积化和差、和差化积公式的证明，所用的方程思想和换元的方法很巧妙，使公式的证明变得十分简单.类题演练2当y=2cosx-3sinx取得最大值时，tanx的值（）A.B.-C.D.4解析：y=sin(φ-x),y有最大值时，sin(φ-x)=1φ-x=2kπ+φ=2kπ++x,又由sinφ=,cosφ=，知tanφ=，故tan(2kπ++x)=tanx=-(k∈Z).答案：B变式提升2（1）当-≤x≤时，f(x)=sinx+3cosx的最值.解：f(x)=sinx+cosx=2sin(x+).设t=x+.∵-≤x≤，∴-≤x+≤，即-≤t≤.∴原函数化为y=2sint(-≤t≤).画出y=2sint的图象，观察图象可知当t=-，即x=-时，ymin=2sin(-)=-1,当t=，即x=时，ymax=2sin=2.∴ymin=-1,ymax=2.(2)(2005江苏高考，10)若sin(-α)=，则cos(+2α)等于（）A.B.C.D.解析：cos(+2α)=2cos2(+α)-1.∵(-α)+(+α)=,∴cos(+α)=sin(-α)=.∴cos(+2α)=2×()2-1=.答案：A类题演练3求证：（1）sin3α=3sinα-4sin3α；（2）cos3α=4cos3α-3cosα.证明：（1）sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα=2sinαcos2α+(1-2sin2α)sinα=2sinα(1-sin2α)+sinα-2sin3α=3sinα-4sin3α.∴sin3α=3sinα-4sin3α.（2）cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα=(2cos2α-1)cosα-2sin2αcosα=2cos3α-cosα-2(1-cos2α)cosα=4cos3α-3cosα.∴cos3α=4cos3α-3cosα.变式提升3求sin18°的值.解：∵sin36°=cos54°,∴2sin18°cos18°=4cos318°-3cos18°.又∵cos18°≠0,∴2sin18°=4(1-sin218°)-3,∴4sin218°+2sin18°-1=0.解这个关于sin18°的一元二次方程得sin18°=.∵sin18°＞0,∴sin18°=.
