高中数学第3章三角恒等变换3.3几个三角恒等式自主训练苏教版必修4我夯基我达标1.若sin(α-β)cosα-cos(α-β)sinα=且β在第三象限，则cos为()A.B.±C.D.±思路解析：由题意,知sin(α-β-α)=,即sin(-β)=，∴sinβ=-.∵β是第三象限角，∴cosβ=-，且是二、四象限角.∴cos=±.答案:B2.设α,β为钝角，且sinα=，cosβ=,则α+β的值为()A.B.C.D.或思路解析：先求α+β的某种三角函数值.但应当注意对α+β角的范围进行讨论.由题意知cosα=,sinβ=,∴cos(α+β)=×()-=.∵<α<π，<β<π,∴π<α+β<2π.∴α+β=.答案：C3.下列各式中值为的是()A.sin15°cos15°B.cos2-sin2C.D.思路解析：将四个选择项分别进行化简,得出结果看是否等于即可.答案：C4.(2005重庆高考卷，理13)若α,β为锐角且cos(α+β)=sin(α-β)，则tanα等于__________.思路解析：可先将已知条件利用公式展开，再变形求得.由题意,知cosαcosβ-sinαsinβ=sinαcosβ-cosαsinβ,即(sinβ+cosβ)cosα=(cosβ+sinβ)sinα.又∵α,β为锐角，∴sinβ+cosβ≠0.∴tanα=1.答案：15.若tan(α+)=3+,则等于________________.思路解析：先将所求式子变形，2α变为α的三角函数，再根据条件求解.原式==tanα.由tan(α+)==3+,解得tanα=.答案：6.已知sinα=，且α为第二象限角，则tan的值为_____________.思路解析：可先将tan用含sinα,cosα的形式表示后再求解.∵α为第二象限角，∴cosα=.tan=.答案：我综合我发展7.化简：2cos210°-tan5°(1+cos10°)-2sin40°sin80°.思路分析：可先将题目所给角化为特殊角或同角的形式后再化简求值.解：原式=1+cos20°-tan5°·2cos25°+cos120°-cos40°=1+cos20°-sin10°--cos40°=+(cos20°-cos40°)-sin10°=+2sin30°sin10°-sin10°=+sin10°-sin10°=.8.已知函数f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)的定义域为R.(1)θ=0时，求f(x)的单调增区间；(2)θ∈(0,π)且sinx≠0，当θ为何值时，f(x)为偶函数.思路分析：(1)将f(x)化为Asin(ωx+φ)的形式求单调区间；(2)根据偶函数的定义求θ.解：(1)由θ=0，得f(x)=sinx+cosx=2sin(x+).由2kπ≤x+≤2kπ+,得2kπ-≤x≤2kπ+.∴f(x)的单调增区间为［2kπ-,2kπ+］(k∈Z).(2)∵f(x)为偶函数，∴f(-x)=f(x),即sin(-x+θ)+cos(-x-θ)=sin(x+θ)+cos(x-θ)恒成立,即sin(x+θ)+sin(x-θ)=cos(x+θ)-cos(x-θ),即2sinxcosθ=-2sinxsinθ,即2sinx(cosθ+sinθ)=0.∵sinx≠0，∴cosθ+sinθ=0.∴tanθ=-1.又∵θ∈(0,π)，∴θ=.9.把函数y=cosx-sinx的图象向左平移m(m>0)个单位，所得图象关于y轴对称，求m的最小值.思路分析：先将原函数化为Asin(ωx+φ)+B的形式，再根据图象的有关知识求m的最小值.解：y=cosx-sinx=-2sin(x-)，向左平移m(m>0)个单位后的解析式为y=-2sin(x+m-).由于它的图象关于y轴对称，则当x=0时y取得最值.此时由m-=kπ+,得m=kπ+.当k=0时，m取得最小正值.10.发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间t的函数：Ia=Isinωt,Ib=Isin(ωt+120°),Ic=Isin(ωt+240°).你能算算它们的电流之和吗?思路分析：利用诱导公式及两角和与差的公式化简即可.解：I=Ia+Ib+Ic=I［sinωt+sin(ωt+120°)+Isin(ωt+240°)］=I［sinωt+sin(60°-ωt)-sin(ωt+60°)］=I(sinωt+cosωt-sinωt-cosωt-)=I(sinωt-sinωt)=0.11.有一块半径为R，中心角为45°的扇形铁皮材料，为了截取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常将矩形的一边放在扇形的半径上，然后作其最大的内接矩形.你能帮工人师傅设计一方案，选出矩形的四点吗?图3-3-1思路分析：可将矩形面积表示为某个角的三角函数的形式求最值.解：如图3-3-1，设∠POA=θ，则PN=Rsinθ.OM=QM=PN=Rsinθ,ON=Rcosθ.MN=ON-OM=Rcosθ-Rsinθ.则S矩形PQMN=MN·PN=R(cosθ-sinθ)·Rsinθ=R2(sinθcosθ-sin2θ)=R2(sin2θ-1+cos2θ)=R2［sin(2θ+)］.当2θ+=即θ=时，S矩形PQMN最大且最大值为R2.因此可以这样选点，以扇形一半径OA为一边在扇形上作∠AOP=,P为边OP与扇形的交点，自P作PM⊥OA于N,PQ∥OA交OB于Q，若作QM⊥OA于M，则矩形MNPQ为所求的面积最大的矩形.
